Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83774 / 20824
↖ ↑ ↗
← N 76.623985°
E 50.092163°		 ← 70.64 m → N 76.623985°
E 50.094910°		 →
↑
70.65 m
↓
↑
70.65 m
↓
N 76.623349°
E 50.092163°		 ← 70.65 m →
4 991 m²		 N 76.623349°
E 50.094910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639148712158203 y=0.158878326416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639148712158203 × 217)
    floor (0.639148712158203 × 131072)
    floor (83774.5)     		tx = 83774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158878326416016 × 217)
    floor (0.158878326416016 × 131072)
    floor (20824.5)     		ty = 20824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83774 / 20824 ti = "17/83774/20824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83774/20824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83774 ÷ 217
    83774 ÷ 131072     		x = 0.639144897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20824 ÷ 217
    20824 ÷ 131072     		y = 0.15887451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639144897460938 × 2 - 1) × π
    0.278289794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87427318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15887451171875 × 2 - 1) × π
    0.6822509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14335465581195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87427318} λ = 0.87427318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14335465581195))-π/2
    2×atan(8.52799819537699)-π/2
    2×1.45406857231984-π/2
    2.90813714463967-1.57079632675     		φ = 1.33734082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87427318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.092163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33734082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.623985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83774 KachelY 20824 0.87427318 1.33734082 50.092163 76.623985
    Oben rechts KachelX + 1 83775 KachelY 20824 0.87432111 1.33734082 50.094910 76.623985
    Unten links KachelX 83774 KachelY + 1 20825 0.87427318 1.33732973 50.092163 76.623349
    Unten rechts KachelX + 1 83775 KachelY + 1 20825 0.87432111 1.33732973 50.094910 76.623349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33734082-1.33732973) × R
    1.10900000001024e-05 × 6371000     		dl = 70.6543900006524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33734082-1.33732973) × R
    1.10900000001024e-05 × 6371000     		dr = 70.6543900006524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87427318-0.87432111) × cos(1.33734082) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.231340666598867 × 6371000     		do = 70.6426555742263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87427318-0.87432111) × cos(1.33732973) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.231351455744055 × 6371000     		du = 70.645950169503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33734082)-sin(1.33732973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231340666598867-0.231351455744055)×R²
    abs(0.87432111-0.87427318)×1.07891451884834e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.07891451884834e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.07891451884834e-05×40589641000000     		ar = 4991.33012643897m²