Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83766 / 20840
↖ ↑ ↗
← N 76.613815°
E 50.070190°		 ← 70.71 m → N 76.613815°
E 50.072937°		 →
↑
70.72 m
↓
↑
70.72 m
↓
N 76.613179°
E 50.070190°		 ← 70.71 m →
5 001 m²		 N 76.613179°
E 50.072937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639087677001953 y=0.159000396728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639087677001953 × 217)
    floor (0.639087677001953 × 131072)
    floor (83766.5)     		tx = 83766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159000396728516 × 217)
    floor (0.159000396728516 × 131072)
    floor (20840.5)     		ty = 20840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83766 / 20840 ti = "17/83766/20840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83766/20840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83766 ÷ 217
    83766 ÷ 131072     		x = 0.639083862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20840 ÷ 217
    20840 ÷ 131072     		y = 0.15899658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639083862304688 × 2 - 1) × π
    0.278167724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87388968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15899658203125 × 2 - 1) × π
    0.6820068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14258766541803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87388968} λ = 0.87388968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14258766541803))-π/2
    2×atan(8.52145981044151)-π/2
    2×1.45397982117677-π/2
    2.90795964235353-1.57079632675     		φ = 1.33716332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87388968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.070190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33716332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.613815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83766 KachelY 20840 0.87388968 1.33716332 50.070190 76.613815
    Oben rechts KachelX + 1 83767 KachelY 20840 0.87393762 1.33716332 50.072937 76.613815
    Unten links KachelX 83766 KachelY + 1 20841 0.87388968 1.33715222 50.070190 76.613179
    Unten rechts KachelX + 1 83767 KachelY + 1 20841 0.87393762 1.33715222 50.072937 76.613179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33716332-1.33715222) × R
    1.11000000000416e-05 × 6371000     		dl = 70.7181000002652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33716332-1.33715222) × R
    1.11000000000416e-05 × 6371000     		dr = 70.7181000002652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87388968-0.87393762) × cos(1.33716332) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231513347876625 × 6371000     		do = 70.7101355950492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87388968-0.87393762) × cos(1.33715222) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231524146294536 × 6371000     		du = 70.7134337098305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33716332)-sin(1.33715222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231513347876625-0.231524146294536)×R²
    abs(0.87393762-0.87388968)×1.07984179111009e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07984179111009e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07984179111009e-05×40589641000000     		ar = 5000.60305824987m²