Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83764 / 20944
↖ ↑ ↗
← N 76.547524°
E 50.064697°		 ← 71.04 m → N 76.547524°
E 50.067444°		 →
↑
71.10 m
↓
↑
71.10 m
↓
N 76.546884°
E 50.064697°		 ← 71.04 m →
5 051 m²		 N 76.546884°
E 50.067444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639072418212891 y=0.159793853759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639072418212891 × 217)
    floor (0.639072418212891 × 131072)
    floor (83764.5)     		tx = 83764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159793853759766 × 217)
    floor (0.159793853759766 × 131072)
    floor (20944.5)     		ty = 20944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83764 / 20944 ti = "17/83764/20944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83764/20944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83764 ÷ 217
    83764 ÷ 131072     		x = 0.639068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20944 ÷ 217
    20944 ÷ 131072     		y = 0.1597900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639068603515625 × 2 - 1) × π
    0.27813720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87379381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1597900390625 × 2 - 1) × π
    0.680419921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13760222785754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87379381} λ = 0.87379381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13760222785754))-π/2
    2×atan(8.4790823275527)-π/2
    2×1.45340132190006-π/2
    2.90680264380012-1.57079632675     		φ = 1.33600632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87379381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.064697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33600632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.547524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83764 KachelY 20944 0.87379381 1.33600632 50.064697 76.547524
    Oben rechts KachelX + 1 83765 KachelY 20944 0.87384174 1.33600632 50.067444 76.547524
    Unten links KachelX 83764 KachelY + 1 20945 0.87379381 1.33599516 50.064697 76.546884
    Unten rechts KachelX + 1 83765 KachelY + 1 20945 0.87384174 1.33599516 50.067444 76.546884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33600632-1.33599516) × R
    1.11600000001211e-05 × 6371000     		dl = 71.1003600007714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33600632-1.33599516) × R
    1.11600000001211e-05 × 6371000     		dr = 71.1003600007714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87379381-0.87384174) × cos(1.33600632) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.232638758976517 × 6371000     		do = 71.0390436977933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87379381-0.87384174) × cos(1.33599516) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.232649612767513 × 6371000     		du = 71.042358033445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33600632)-sin(1.33599516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232638758976517-0.232649612767513)×R²
    abs(0.87384174-0.87379381)×1.08537909959683e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.08537909959683e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.08537909959683e-05×40589641000000     		ar = 5051.01940626575m²