Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83764 / 20841
↖ ↑ ↗
← N 76.613179°
E 50.064697°		 ← 70.70 m → N 76.613179°
E 50.067444°		 →
↑
70.72 m
↓
↑
70.72 m
↓
N 76.612543°
E 50.064697°		 ← 70.70 m →
5 000 m²		 N 76.612543°
E 50.067444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639072418212891 y=0.159008026123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639072418212891 × 217)
    floor (0.639072418212891 × 131072)
    floor (83764.5)     		tx = 83764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159008026123047 × 217)
    floor (0.159008026123047 × 131072)
    floor (20841.5)     		ty = 20841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83764 / 20841 ti = "17/83764/20841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83764/20841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83764 ÷ 217
    83764 ÷ 131072     		x = 0.639068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20841 ÷ 217
    20841 ÷ 131072     		y = 0.159004211425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639068603515625 × 2 - 1) × π
    0.27813720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87379381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159004211425781 × 2 - 1) × π
    0.681991577148438 × 3.1415926535     		Φ = 2.14253972851841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87379381} λ = 0.87379381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14253972851841))-π/2
    2×atan(8.52105132786874)-π/2
    2×1.45397427203121-π/2
    2.90794854406243-1.57079632675     		φ = 1.33715222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87379381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.064697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33715222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.613179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83764 KachelY 20841 0.87379381 1.33715222 50.064697 76.613179
    Oben rechts KachelX + 1 83765 KachelY 20841 0.87384174 1.33715222 50.067444 76.613179
    Unten links KachelX 83764 KachelY + 1 20842 0.87379381 1.33714112 50.064697 76.612543
    Unten rechts KachelX + 1 83765 KachelY + 1 20842 0.87384174 1.33714112 50.067444 76.612543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33715222-1.33714112) × R
    1.10999999998196e-05 × 6371000     		dl = 70.7180999988506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33715222-1.33714112) × R
    1.10999999998196e-05 × 6371000     		dr = 70.7180999988506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87379381-0.87384174) × cos(1.33715222) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.231524146294536 × 6371000     		do = 70.6986833065597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87379381-0.87384174) × cos(1.33714112) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.231534944683921 × 6371000     		du = 70.701980724663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33715222)-sin(1.33714112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231524146294536-0.231534944683921)×R²
    abs(0.87384174-0.87379381)×1.07983893848085e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.07983893848085e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.07983893848085e-05×40589641000000     		ar = 4999.79314943757m²