Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83763 / 20590
↖ ↑ ↗
← N 76.771859°
E 50.061951°		 ← 69.89 m → N 76.771859°
E 50.064697°		 →
↑
69.89 m
↓
↑
69.89 m
↓
N 76.771230°
E 50.061951°		 ← 69.89 m →
4 885 m²		 N 76.771230°
E 50.064697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639064788818359 y=0.157093048095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639064788818359 × 217)
    floor (0.639064788818359 × 131072)
    floor (83763.5)     		tx = 83763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157093048095703 × 217)
    floor (0.157093048095703 × 131072)
    floor (20590.5)     		ty = 20590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83763 / 20590 ti = "17/83763/20590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83763/20590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83763 ÷ 217
    83763 ÷ 131072     		x = 0.639060974121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20590 ÷ 217
    20590 ÷ 131072     		y = 0.157089233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639060974121094 × 2 - 1) × π
    0.278121948242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.87374587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157089233398438 × 2 - 1) × π
    0.685821533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15457189032304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87374587} λ = 0.87374587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15457189032304))-π/2
    2×atan(8.62419728622938)-π/2
    2×1.455359018055-π/2
    2.91071803611-1.57079632675     		φ = 1.33992171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87374587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.061951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33992171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.771859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83763 KachelY 20590 0.87374587 1.33992171 50.061951 76.771859
    Oben rechts KachelX + 1 83764 KachelY 20590 0.87379381 1.33992171 50.064697 76.771859
    Unten links KachelX 83763 KachelY + 1 20591 0.87374587 1.33991074 50.061951 76.771230
    Unten rechts KachelX + 1 83764 KachelY + 1 20591 0.87379381 1.33991074 50.064697 76.771230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33992171-1.33991074) × R
    1.09699999999435e-05 × 6371000     		dl = 69.8898699996402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33992171-1.33991074) × R
    1.09699999999435e-05 × 6371000     		dr = 69.8898699996402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87374587-0.87379381) × cos(1.33992171) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228829021212101 × 6371000     		do = 69.8902731371358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87374587-0.87379381) × cos(1.33991074) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228839700127259 × 6371000     		du = 69.8935347527004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33992171)-sin(1.33991074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228829021212101-0.228839700127259)×R²
    abs(0.87379381-0.87374587)×1.06789151582964e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06789151582964e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06789151582964e-05×40589641000000     		ar = 4884.73608092974m²