Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83762 / 20939
↖ ↑ ↗
← N 76.550718°
E 50.059204°		 ← 71.04 m → N 76.550718°
E 50.061951°		 →
↑
71.04 m
↓
↑
71.04 m
↓
N 76.550079°
E 50.059204°		 ← 71.04 m →
5 046 m²		 N 76.550079°
E 50.061951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639057159423828 y=0.159755706787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639057159423828 × 217)
    floor (0.639057159423828 × 131072)
    floor (83762.5)     		tx = 83762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159755706787109 × 217)
    floor (0.159755706787109 × 131072)
    floor (20939.5)     		ty = 20939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83762 / 20939 ti = "17/83762/20939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83762/20939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83762 ÷ 217
    83762 ÷ 131072     		x = 0.639053344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20939 ÷ 217
    20939 ÷ 131072     		y = 0.159751892089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639053344726562 × 2 - 1) × π
    0.278106689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87369793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159751892089844 × 2 - 1) × π
    0.680496215820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.13784191235564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87369793} λ = 0.87369793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13784191235564))-π/2
    2×atan(8.48111487572014)-π/2
    2×1.45342919860321-π/2
    2.90685839720643-1.57079632675     		φ = 1.33606207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87369793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.059204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33606207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.550718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83762 KachelY 20939 0.87369793 1.33606207 50.059204 76.550718
    Oben rechts KachelX + 1 83763 KachelY 20939 0.87374587 1.33606207 50.061951 76.550718
    Unten links KachelX 83762 KachelY + 1 20940 0.87369793 1.33605092 50.059204 76.550079
    Unten rechts KachelX + 1 83763 KachelY + 1 20940 0.87374587 1.33605092 50.061951 76.550079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33606207-1.33605092) × R
    1.11500000001818e-05 × 6371000     		dl = 71.0366500011585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33606207-1.33605092) × R
    1.11500000001818e-05 × 6371000     		dr = 71.0366500011585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87369793-0.87374587) × cos(1.33606207) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.232584538215762 × 6371000     		do = 71.0373046972253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87369793-0.87374587) × cos(1.33605092) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.232595382425749 × 6371000     		du = 71.0406167980854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33606207)-sin(1.33605092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232584538215762-0.232595382425749)×R²
    abs(0.87374587-0.87369793)×1.08442099874817e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.08442099874817e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.08442099874817e-05×40589641000000     		ar = 5046.36979111072m²