Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83762 / 20830
↖ ↑ ↗
← N 76.620172°
E 50.059204°		 ← 70.68 m → N 76.620172°
E 50.061951°		 →
↑
70.65 m
↓
↑
70.65 m
↓
N 76.619536°
E 50.059204°		 ← 70.68 m →
4 994 m²		 N 76.619536°
E 50.061951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639057159423828 y=0.158924102783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639057159423828 × 217)
    floor (0.639057159423828 × 131072)
    floor (83762.5)     		tx = 83762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158924102783203 × 217)
    floor (0.158924102783203 × 131072)
    floor (20830.5)     		ty = 20830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83762 / 20830 ti = "17/83762/20830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83762/20830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83762 ÷ 217
    83762 ÷ 131072     		x = 0.639053344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20830 ÷ 217
    20830 ÷ 131072     		y = 0.158920288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639053344726562 × 2 - 1) × π
    0.278106689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87369793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158920288085938 × 2 - 1) × π
    0.682159423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.14306703441423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87369793} λ = 0.87369793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14306703441423))-π/2
    2×atan(8.52554571332635)-π/2
    2×1.4540352984015-π/2
    2.908070596803-1.57079632675     		φ = 1.33727427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87369793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.059204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33727427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.620172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83762 KachelY 20830 0.87369793 1.33727427 50.059204 76.620172
    Oben rechts KachelX + 1 83763 KachelY 20830 0.87374587 1.33727427 50.061951 76.620172
    Unten links KachelX 83762 KachelY + 1 20831 0.87369793 1.33726318 50.059204 76.619536
    Unten rechts KachelX + 1 83763 KachelY + 1 20831 0.87374587 1.33726318 50.061951 76.619536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33727427-1.33726318) × R
    1.10899999998804e-05 × 6371000     		dl = 70.6543899992378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33727427-1.33726318) × R
    1.10899999998804e-05 × 6371000     		dr = 70.6543899992378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87369793-0.87374587) × cos(1.33727427) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.231405410771742 × 6371000     		do = 70.6771688250807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87369793-0.87374587) × cos(1.33726318) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.231416199746164 × 6371000     		du = 70.6804640555773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33727427)-sin(1.33726318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231405410771742-0.231416199746164)×R²
    abs(0.87374587-0.87369793)×1.07889744218326e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.07889744218326e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.07889744218326e-05×40589641000000     		ar = 4993.76866166851m²