Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83761 / 20940
↖ ↑ ↗
← N 76.550079°
E 50.056458°		 ← 71.03 m → N 76.550079°
E 50.059204°		 →
↑
71.04 m
↓
↑
71.04 m
↓
N 76.549440°
E 50.056458°		 ← 71.03 m →
5 046 m²		 N 76.549440°
E 50.059204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639049530029297 y=0.159763336181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639049530029297 × 217)
    floor (0.639049530029297 × 131072)
    floor (83761.5)     		tx = 83761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159763336181641 × 217)
    floor (0.159763336181641 × 131072)
    floor (20940.5)     		ty = 20940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83761 / 20940 ti = "17/83761/20940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83761/20940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83761 ÷ 217
    83761 ÷ 131072     		x = 0.639045715332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20940 ÷ 217
    20940 ÷ 131072     		y = 0.159759521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639045715332031 × 2 - 1) × π
    0.278091430664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.87365000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159759521484375 × 2 - 1) × π
    0.68048095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13779397545602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87365000} λ = 0.87365000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13779397545602))-π/2
    2×atan(8.48070832711209)-π/2
    2×1.45342362378244-π/2
    2.90684724756488-1.57079632675     		φ = 1.33605092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87365000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.056458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33605092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.550079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83761 KachelY 20940 0.87365000 1.33605092 50.056458 76.550079
    Oben rechts KachelX + 1 83762 KachelY 20940 0.87369793 1.33605092 50.059204 76.550079
    Unten links KachelX 83761 KachelY + 1 20941 0.87365000 1.33603977 50.056458 76.549440
    Unten rechts KachelX + 1 83762 KachelY + 1 20941 0.87369793 1.33603977 50.059204 76.549440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33605092-1.33603977) × R
    1.11499999999598e-05 × 6371000     		dl = 71.0366499997439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33605092-1.33603977) × R
    1.11499999999598e-05 × 6371000     		dr = 71.0366499997439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87365000-0.87369793) × cos(1.33605092) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.232595382425749 × 6371000     		do = 71.0257981460321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87365000-0.87369793) × cos(1.33603977) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.23260622660682 × 6371000     		du = 71.0291095471775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33605092)-sin(1.33603977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232595382425749-0.23260622660682)×R²
    abs(0.87369793-0.87365000)×1.08441810704463e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.08441810704463e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.08441810704463e-05×40589641000000     		ar = 5045.55237929949m²