Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83760 / 20593
↖ ↑ ↗
← N 76.769973°
E 50.053711°		 ← 69.90 m → N 76.769973°
E 50.056458°		 →
↑
69.89 m
↓
↑
69.89 m
↓
N 76.769345°
E 50.053711°		 ← 69.90 m →
4 885 m²		 N 76.769345°
E 50.056458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639041900634766 y=0.157115936279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639041900634766 × 217)
    floor (0.639041900634766 × 131072)
    floor (83760.5)     		tx = 83760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157115936279297 × 217)
    floor (0.157115936279297 × 131072)
    floor (20593.5)     		ty = 20593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83760 / 20593 ti = "17/83760/20593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83760/20593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83760 ÷ 217
    83760 ÷ 131072     		x = 0.6390380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20593 ÷ 217
    20593 ÷ 131072     		y = 0.157112121582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6390380859375 × 2 - 1) × π
    0.278076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87360206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157112121582031 × 2 - 1) × π
    0.685775756835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.15442807962418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87360206} λ = 0.87360206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15442807962418))-π/2
    2×atan(8.62295712356701)-π/2
    2×1.45534256287243-π/2
    2.91068512574486-1.57079632675     		φ = 1.33988880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87360206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.053711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33988880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.769973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83760 KachelY 20593 0.87360206 1.33988880 50.053711 76.769973
    Oben rechts KachelX + 1 83761 KachelY 20593 0.87365000 1.33988880 50.056458 76.769973
    Unten links KachelX 83760 KachelY + 1 20594 0.87360206 1.33987783 50.053711 76.769345
    Unten rechts KachelX + 1 83761 KachelY + 1 20594 0.87365000 1.33987783 50.056458 76.769345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33988880-1.33987783) × R
    1.09699999999435e-05 × 6371000     		dl = 69.8898699996402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33988880-1.33987783) × R
    1.09699999999435e-05 × 6371000     		dr = 69.8898699996402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87360206-0.87365000) × cos(1.33988880) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.228861057874958 × 6371000     		do = 69.900057958758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87360206-0.87365000) × cos(1.33987783) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.228871736707496 × 6371000     		du = 69.9033195490883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33988880)-sin(1.33987783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228861057874958-0.228871736707496)×R²
    abs(0.87365000-0.87360206)×1.0678832538108e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.0678832538108e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.0678832538108e-05×40589641000000     		ar = 4885.41993979403m²