Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83759 / 20942
↖ ↑ ↗
← N 76.548801°
E 50.050964°		 ← 71.05 m → N 76.548801°
E 50.053711°		 →
↑
71.04 m
↓
↑
71.04 m
↓
N 76.548162°
E 50.050964°		 ← 71.05 m →
5 047 m²		 N 76.548162°
E 50.053711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639034271240234 y=0.159778594970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639034271240234 × 217)
    floor (0.639034271240234 × 131072)
    floor (83759.5)     		tx = 83759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159778594970703 × 217)
    floor (0.159778594970703 × 131072)
    floor (20942.5)     		ty = 20942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83759 / 20942 ti = "17/83759/20942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83759/20942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83759 ÷ 217
    83759 ÷ 131072     		x = 0.639030456542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20942 ÷ 217
    20942 ÷ 131072     		y = 0.159774780273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639030456542969 × 2 - 1) × π
    0.278060913085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.87355412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159774780273438 × 2 - 1) × π
    0.680450439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13769810165678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87355412} λ = 0.87355412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13769810165678))-π/2
    2×atan(8.4798952883597)-π/2
    2×1.45341247336113-π/2
    2.90682494672225-1.57079632675     		φ = 1.33602862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87355412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.050964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33602862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.548801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83759 KachelY 20942 0.87355412 1.33602862 50.050964 76.548801
    Oben rechts KachelX + 1 83760 KachelY 20942 0.87360206 1.33602862 50.053711 76.548801
    Unten links KachelX 83759 KachelY + 1 20943 0.87355412 1.33601747 50.050964 76.548162
    Unten rechts KachelX + 1 83760 KachelY + 1 20943 0.87360206 1.33601747 50.053711 76.548162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33602862-1.33601747) × R
    1.11499999999598e-05 × 6371000     		dl = 71.0366499997439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33602862-1.33601747) × R
    1.11499999999598e-05 × 6371000     		dr = 71.0366499997439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87355412-0.87360206) × cos(1.33602862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232617070758972 × 6371000     		do = 71.0472409731448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87355412-0.87360206) × cos(1.33601747) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232627914882205 × 6371000     		du = 71.0505530475078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33602862)-sin(1.33601747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232617070758972-0.232627914882205)×R²
    abs(0.87360206-0.87355412)×1.08441232327394e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08441232327394e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08441232327394e-05×40589641000000     		ar = 5047.07562975221m²