Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83757 / 20867
↖ ↑ ↗
← N 76.596635°
E 50.045471°		 ← 70.78 m → N 76.596635°
E 50.048217°		 →
↑
70.78 m
↓
↑
70.78 m
↓
N 76.595999°
E 50.045471°		 ← 70.79 m →
5 010 m²		 N 76.595999°
E 50.048217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639019012451172 y=0.159206390380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639019012451172 × 217)
    floor (0.639019012451172 × 131072)
    floor (83757.5)     		tx = 83757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159206390380859 × 217)
    floor (0.159206390380859 × 131072)
    floor (20867.5)     		ty = 20867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83757 / 20867 ti = "17/83757/20867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83757/20867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83757 ÷ 217
    83757 ÷ 131072     		x = 0.639015197753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20867 ÷ 217
    20867 ÷ 131072     		y = 0.159202575683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639015197753906 × 2 - 1) × π
    0.278030395507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.87345825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159202575683594 × 2 - 1) × π
    0.681594848632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.14129336912829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87345825} λ = 0.87345825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14129336912829))-π/2
    2×atan(8.51043765113432)-π/2
    2×1.45382990337925-π/2
    2.90765980675849-1.57079632675     		φ = 1.33686348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87345825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.045471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33686348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.596635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83757 KachelY 20867 0.87345825 1.33686348 50.045471 76.596635
    Oben rechts KachelX + 1 83758 KachelY 20867 0.87350618 1.33686348 50.048217 76.596635
    Unten links KachelX 83757 KachelY + 1 20868 0.87345825 1.33685237 50.045471 76.595999
    Unten rechts KachelX + 1 83758 KachelY + 1 20868 0.87350618 1.33685237 50.048217 76.595999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33686348-1.33685237) × R
    1.11100000002029e-05 × 6371000     		dl = 70.7818100012927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33686348-1.33685237) × R
    1.11100000002029e-05 × 6371000     		dr = 70.7818100012927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87345825-0.87350618) × cos(1.33686348) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.231805031330394 × 6371000     		do = 70.784454931306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87345825-0.87350618) × cos(1.33685237) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.231815838704871 × 6371000     		du = 70.7877550931152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33686348)-sin(1.33685237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231805031330394-0.231815838704871)×R²
    abs(0.87350618-0.87345825)×1.08073744765624e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.08073744765624e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.08073744765624e-05×40589641000000     		ar = 5010.36863574813m²