Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83755 / 20868
↖ ↑ ↗
← N 76.595999°
E 50.039978°		 ← 70.80 m → N 76.595999°
E 50.042725°		 →
↑
70.85 m
↓
↑
70.85 m
↓
N 76.595362°
E 50.039978°		 ← 70.81 m →
5 016 m²		 N 76.595362°
E 50.042725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639003753662109 y=0.159214019775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639003753662109 × 217)
    floor (0.639003753662109 × 131072)
    floor (83755.5)     		tx = 83755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159214019775391 × 217)
    floor (0.159214019775391 × 131072)
    floor (20868.5)     		ty = 20868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83755 / 20868 ti = "17/83755/20868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83755/20868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83755 ÷ 217
    83755 ÷ 131072     		x = 0.638999938964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20868 ÷ 217
    20868 ÷ 131072     		y = 0.159210205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638999938964844 × 2 - 1) × π
    0.277999877929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.87336237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159210205078125 × 2 - 1) × π
    0.68157958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14124543222867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87336237} λ = 0.87336237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14124543222867))-π/2
    2×atan(8.51002969691702)-π/2
    2×1.45382434724244-π/2
    2.90764869448488-1.57079632675     		φ = 1.33685237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87336237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.039978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33685237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.595999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83755 KachelY 20868 0.87336237 1.33685237 50.039978 76.595999
    Oben rechts KachelX + 1 83756 KachelY 20868 0.87341031 1.33685237 50.042725 76.595999
    Unten links KachelX 83755 KachelY + 1 20869 0.87336237 1.33684125 50.039978 76.595362
    Unten rechts KachelX + 1 83756 KachelY + 1 20869 0.87341031 1.33684125 50.042725 76.595362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33685237-1.33684125) × R
    1.11199999999201e-05 × 6371000     		dl = 70.8455199994908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33685237-1.33684125) × R
    1.11199999999201e-05 × 6371000     		dr = 70.8455199994908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87336237-0.87341031) × cos(1.33685237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231815838704871 × 6371000     		do = 70.8025240801093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87336237-0.87341031) × cos(1.33684125) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231826655778304 × 6371000     		du = 70.8058278927675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33685237)-sin(1.33684125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231815838704871-0.231826655778304)×R²
    abs(0.87341031-0.87336237)×1.08170734338942e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08170734338942e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08170734338942e-05×40589641000000     		ar = 5016.1586661231m²