Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83755 / 20842
↖ ↑ ↗
← N 76.612543°
E 50.039978°		 ← 70.72 m → N 76.612543°
E 50.042725°		 →
↑
70.72 m
↓
↑
70.72 m
↓
N 76.611907°
E 50.039978°		 ← 70.72 m →
5 001 m²		 N 76.611907°
E 50.042725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639003753662109 y=0.159015655517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639003753662109 × 217)
    floor (0.639003753662109 × 131072)
    floor (83755.5)     		tx = 83755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159015655517578 × 217)
    floor (0.159015655517578 × 131072)
    floor (20842.5)     		ty = 20842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83755 / 20842 ti = "17/83755/20842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83755/20842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83755 ÷ 217
    83755 ÷ 131072     		x = 0.638999938964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20842 ÷ 217
    20842 ÷ 131072     		y = 0.159011840820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638999938964844 × 2 - 1) × π
    0.277999877929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.87336237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159011840820312 × 2 - 1) × π
    0.681976318359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14249179161879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87336237} λ = 0.87336237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14249179161879))-π/2
    2×atan(8.52064286487688)-π/2
    2×1.45396872262688-π/2
    2.90793744525375-1.57079632675     		φ = 1.33714112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87336237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.039978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33714112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.612543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83755 KachelY 20842 0.87336237 1.33714112 50.039978 76.612543
    Oben rechts KachelX + 1 83756 KachelY 20842 0.87341031 1.33714112 50.042725 76.612543
    Unten links KachelX 83755 KachelY + 1 20843 0.87336237 1.33713002 50.039978 76.611907
    Unten rechts KachelX + 1 83756 KachelY + 1 20843 0.87341031 1.33713002 50.042725 76.611907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33714112-1.33713002) × R
    1.11000000000416e-05 × 6371000     		dl = 70.7181000002652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33714112-1.33713002) × R
    1.11000000000416e-05 × 6371000     		dr = 70.7181000002652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87336237-0.87341031) × cos(1.33714112) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231534944683921 × 6371000     		do = 70.7167318158992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87336237-0.87341031) × cos(1.33713002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231545743044778 × 6371000     		du = 70.7200299132549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33714112)-sin(1.33713002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231534944683921-0.231545743044778)×R²
    abs(0.87341031-0.87336237)×1.07983608576001e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07983608576001e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07983608576001e-05×40589641000000     		ar = 5001.06953004789m²