Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83749 / 20832
↖ ↑ ↗
← N 76.618900°
E 50.023498°		 ← 70.68 m → N 76.618900°
E 50.026245°		 →
↑
70.65 m
↓
↑
70.65 m
↓
N 76.618265°
E 50.023498°		 ← 70.69 m →
4 994 m²		 N 76.618265°
E 50.026245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638957977294922 y=0.158939361572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638957977294922 × 217)
    floor (0.638957977294922 × 131072)
    floor (83749.5)     		tx = 83749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158939361572266 × 217)
    floor (0.158939361572266 × 131072)
    floor (20832.5)     		ty = 20832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83749 / 20832 ti = "17/83749/20832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83749/20832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83749 ÷ 217
    83749 ÷ 131072     		x = 0.638954162597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20832 ÷ 217
    20832 ÷ 131072     		y = 0.158935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638954162597656 × 2 - 1) × π
    0.277908325195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.87307475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158935546875 × 2 - 1) × π
    0.68212890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14297116061499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87307475} λ = 0.87307475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14297116061499))-π/2
    2×atan(8.52472837604946)-π/2
    2×1.45402420502621-π/2
    2.90804841005243-1.57079632675     		φ = 1.33725208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87307475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.023498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33725208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.618900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83749 KachelY 20832 0.87307475 1.33725208 50.023498 76.618900
    Oben rechts KachelX + 1 83750 KachelY 20832 0.87312269 1.33725208 50.026245 76.618900
    Unten links KachelX 83749 KachelY + 1 20833 0.87307475 1.33724099 50.023498 76.618265
    Unten rechts KachelX + 1 83750 KachelY + 1 20833 0.87312269 1.33724099 50.026245 76.618265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33725208-1.33724099) × R
    1.10900000001024e-05 × 6371000     		dl = 70.6543900006524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33725208-1.33724099) × R
    1.10900000001024e-05 × 6371000     		dr = 70.6543900006524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87307475-0.87312269) × cos(1.33725208) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231426998420648 × 6371000     		do = 70.6837622485588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87307475-0.87312269) × cos(1.33724099) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23143778733812 × 6371000     		du = 70.6870574616615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33725208)-sin(1.33724099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231426998420648-0.23143778733812)×R²
    abs(0.87312269-0.87307475)×1.07889174721931e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07889174721931e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07889174721931e-05×40589641000000     		ar = 4994.23451537976m²