Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83748 / 20849
↖ ↑ ↗
← N 76.608090°
E 50.020752°		 ← 70.73 m → N 76.608090°
E 50.023498°		 →
↑
70.72 m
↓
↑
70.72 m
↓
N 76.607454°
E 50.020752°		 ← 70.73 m →
5 002 m²		 N 76.607454°
E 50.023498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638950347900391 y=0.159069061279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638950347900391 × 217)
    floor (0.638950347900391 × 131072)
    floor (83748.5)     		tx = 83748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159069061279297 × 217)
    floor (0.159069061279297 × 131072)
    floor (20849.5)     		ty = 20849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83748 / 20849 ti = "17/83748/20849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83748/20849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83748 ÷ 217
    83748 ÷ 131072     		x = 0.638946533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20849 ÷ 217
    20849 ÷ 131072     		y = 0.159065246582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638946533203125 × 2 - 1) × π
    0.27789306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87302682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159065246582031 × 2 - 1) × π
    0.681869506835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.14215623332145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87302682} λ = 0.87302682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14215623332145))-π/2
    2×atan(8.51778417212076)-π/2
    2×1.4539298695495-π/2
    2.907859739099-1.57079632675     		φ = 1.33706341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87302682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.020752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33706341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.608090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83748 KachelY 20849 0.87302682 1.33706341 50.020752 76.608090
    Oben rechts KachelX + 1 83749 KachelY 20849 0.87307475 1.33706341 50.023498 76.608090
    Unten links KachelX 83748 KachelY + 1 20850 0.87302682 1.33705231 50.020752 76.607454
    Unten rechts KachelX + 1 83749 KachelY + 1 20850 0.87307475 1.33705231 50.023498 76.607454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33706341-1.33705231) × R
    1.11000000000416e-05 × 6371000     		dl = 70.7181000002652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33706341-1.33705231) × R
    1.11000000000416e-05 × 6371000     		dr = 70.7181000002652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87302682-0.87307475) × cos(1.33706341) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.231610542338859 × 6371000     		do = 70.7250653780383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87302682-0.87307475) × cos(1.33705231) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.231621340499962 × 6371000     		du = 70.7283627264329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33706341)-sin(1.33705231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231610542338859-0.231621340499962)×R²
    abs(0.87307475-0.87302682)×1.0798161102693e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0798161102693e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0798161102693e-05×40589641000000     		ar = 5001.65883705554m²