Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83747 / 20857
↖ ↑ ↗
← N 76.603000°
E 50.018005°		 ← 70.77 m → N 76.603000°
E 50.020752°		 →
↑
70.72 m
↓
↑
70.72 m
↓
N 76.602364°
E 50.018005°		 ← 70.77 m →
5 005 m²		 N 76.602364°
E 50.020752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638942718505859 y=0.159130096435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638942718505859 × 217)
    floor (0.638942718505859 × 131072)
    floor (83747.5)     		tx = 83747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159130096435547 × 217)
    floor (0.159130096435547 × 131072)
    floor (20857.5)     		ty = 20857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83747 / 20857 ti = "17/83747/20857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83747/20857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83747 ÷ 217
    83747 ÷ 131072     		x = 0.638938903808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20857 ÷ 217
    20857 ÷ 131072     		y = 0.159126281738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638938903808594 × 2 - 1) × π
    0.277877807617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.87297888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159126281738281 × 2 - 1) × π
    0.681747436523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.14177273812449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87297888} λ = 0.87297888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14177273812449))-π/2
    2×atan(8.51451826907109)-π/2
    2×1.45388545049958-π/2
    2.90777090099916-1.57079632675     		φ = 1.33697457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87297888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.018005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33697457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.603000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83747 KachelY 20857 0.87297888 1.33697457 50.018005 76.603000
    Oben rechts KachelX + 1 83748 KachelY 20857 0.87302682 1.33697457 50.020752 76.603000
    Unten links KachelX 83747 KachelY + 1 20858 0.87297888 1.33696347 50.018005 76.602364
    Unten rechts KachelX + 1 83748 KachelY + 1 20858 0.87302682 1.33696347 50.020752 76.602364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33697457-1.33696347) × R
    1.11000000000416e-05 × 6371000     		dl = 70.7181000002652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33697457-1.33696347) × R
    1.11000000000416e-05 × 6371000     		dr = 70.7181000002652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87297888-0.87302682) × cos(1.33697457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231696965740061 × 6371000     		do = 70.7662172168663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87297888-0.87302682) × cos(1.33696347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231707763672719 × 6371000     		du = 70.7695151834389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33697457)-sin(1.33696347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231696965740061-0.231707763672719)×R²
    abs(0.87302682-0.87297888)×1.07979326580687e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07979326580687e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07979326580687e-05×40589641000000     		ar = 5004.56903885283m²