Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83746 / 20833
↖ ↑ ↗
← N 76.618265°
E 50.015259°		 ← 70.69 m → N 76.618265°
E 50.018005°		 →
↑
70.72 m
↓
↑
70.72 m
↓
N 76.617629°
E 50.015259°		 ← 70.69 m →
4 999 m²		 N 76.617629°
E 50.018005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638935089111328 y=0.158946990966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638935089111328 × 217)
    floor (0.638935089111328 × 131072)
    floor (83746.5)     		tx = 83746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158946990966797 × 217)
    floor (0.158946990966797 × 131072)
    floor (20833.5)     		ty = 20833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83746 / 20833 ti = "17/83746/20833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83746/20833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83746 ÷ 217
    83746 ÷ 131072     		x = 0.638931274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20833 ÷ 217
    20833 ÷ 131072     		y = 0.158943176269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638931274414062 × 2 - 1) × π
    0.277862548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87293094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158943176269531 × 2 - 1) × π
    0.682113647460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.14292322371537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87293094} λ = 0.87293094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14292322371537))-π/2
    2×atan(8.52431973679554)-π/2
    2×1.45401865795055-π/2
    2.9080373159011-1.57079632675     		φ = 1.33724099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87293094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.015259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33724099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.618265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83746 KachelY 20833 0.87293094 1.33724099 50.015259 76.618265
    Oben rechts KachelX + 1 83747 KachelY 20833 0.87297888 1.33724099 50.018005 76.618265
    Unten links KachelX 83746 KachelY + 1 20834 0.87293094 1.33722989 50.015259 76.617629
    Unten rechts KachelX + 1 83747 KachelY + 1 20834 0.87297888 1.33722989 50.018005 76.617629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33724099-1.33722989) × R
    1.11000000000416e-05 × 6371000     		dl = 70.7181000002652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33724099-1.33722989) × R
    1.11000000000416e-05 × 6371000     		dr = 70.7181000002652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87293094-0.87297888) × cos(1.33724099) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23143778733812 × 6371000     		do = 70.6870574616615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87293094-0.87297888) × cos(1.33722989) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231448585955599 × 6371000     		du = 70.6903556373961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33724099)-sin(1.33722989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23143778733812-0.231448585955599)×R²
    abs(0.87297888-0.87293094)×1.0798617479435e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0798617479435e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0798617479435e-05×40589641000000     		ar = 4998.97101865897m²