Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83745 / 20835
↖ ↑ ↗
← N 76.616994°
E 50.012512°		 ← 70.68 m → N 76.616994°
E 50.015259°		 →
↑
70.72 m
↓
↑
70.72 m
↓
N 76.616358°
E 50.012512°		 ← 70.68 m →
4 998 m²		 N 76.616358°
E 50.015259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638927459716797 y=0.158962249755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638927459716797 × 217)
    floor (0.638927459716797 × 131072)
    floor (83745.5)     		tx = 83745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158962249755859 × 217)
    floor (0.158962249755859 × 131072)
    floor (20835.5)     		ty = 20835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83745 / 20835 ti = "17/83745/20835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83745/20835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83745 ÷ 217
    83745 ÷ 131072     		x = 0.638923645019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20835 ÷ 217
    20835 ÷ 131072     		y = 0.158958435058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638923645019531 × 2 - 1) × π
    0.277847290039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.87288301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158958435058594 × 2 - 1) × π
    0.682083129882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.14282734991613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87288301} λ = 0.87288301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14282734991613))-π/2
    2×atan(8.52350251705204)-π/2
    2×1.45400756302312-π/2
    2.90801512604624-1.57079632675     		φ = 1.33721880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87288301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.012512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33721880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.616994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83745 KachelY 20835 0.87288301 1.33721880 50.012512 76.616994
    Oben rechts KachelX + 1 83746 KachelY 20835 0.87293094 1.33721880 50.015259 76.616994
    Unten links KachelX 83745 KachelY + 1 20836 0.87288301 1.33720770 50.012512 76.616358
    Unten rechts KachelX + 1 83746 KachelY + 1 20836 0.87293094 1.33720770 50.015259 76.616358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33721880-1.33720770) × R
    1.11000000000416e-05 × 6371000     		dl = 70.7181000002652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33721880-1.33720770) × R
    1.11000000000416e-05 × 6371000     		dr = 70.7181000002652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87288301-0.87293094) × cos(1.33721880) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.231459374816116 × 6371000     		do = 70.6789045564233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87288301-0.87293094) × cos(1.33720770) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.231470173376586 × 6371000     		du = 70.6822020267696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33721880)-sin(1.33720770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231459374816116-0.231470173376586)×R²
    abs(0.87293094-0.87288301)×1.07985604702321e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.07985604702321e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.07985604702321e-05×40589641000000     		ar = 4998.39443568555m²