Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83744 / 20850
↖ ↑ ↗
← N 76.607454°
E 50.009766°		 ← 70.74 m → N 76.607454°
E 50.012512°		 →
↑
70.72 m
↓
↑
70.72 m
↓
N 76.606818°
E 50.009766°		 ← 70.75 m →
5 003 m²		 N 76.606818°
E 50.012512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638919830322266 y=0.159076690673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638919830322266 × 217)
    floor (0.638919830322266 × 131072)
    floor (83744.5)     		tx = 83744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159076690673828 × 217)
    floor (0.159076690673828 × 131072)
    floor (20850.5)     		ty = 20850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83744 / 20850 ti = "17/83744/20850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83744/20850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83744 ÷ 217
    83744 ÷ 131072     		x = 0.638916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20850 ÷ 217
    20850 ÷ 131072     		y = 0.159072875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638916015625 × 2 - 1) × π
    0.27783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87283507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159072875976562 × 2 - 1) × π
    0.681854248046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14210829642183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87283507} λ = 0.87283507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14210829642183))-π/2
    2×atan(8.51737586574246)-π/2
    2×1.45392431807445-π/2
    2.90784863614891-1.57079632675     		φ = 1.33705231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87283507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.009766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33705231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.607454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83744 KachelY 20850 0.87283507 1.33705231 50.009766 76.607454
    Oben rechts KachelX + 1 83745 KachelY 20850 0.87288301 1.33705231 50.012512 76.607454
    Unten links KachelX 83744 KachelY + 1 20851 0.87283507 1.33704121 50.009766 76.606818
    Unten rechts KachelX + 1 83745 KachelY + 1 20851 0.87288301 1.33704121 50.012512 76.606818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33705231-1.33704121) × R
    1.11000000000416e-05 × 6371000     		dl = 70.7181000002652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33705231-1.33704121) × R
    1.11000000000416e-05 × 6371000     		dr = 70.7181000002652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87283507-0.87288301) × cos(1.33705231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231621340499962 × 6371000     		do = 70.7431193219465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87283507-0.87288301) × cos(1.33704121) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231632138632527 × 6371000     		du = 70.7464173495756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33705231)-sin(1.33704121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231621340499962-0.231632138632527)×R²
    abs(0.87288301-0.87283507)×1.079813256466e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.079813256466e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.079813256466e-05×40589641000000     		ar = 5002.93560173361m²