Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83744 / 20835
↖ ↑ ↗
← N 76.616994°
E 50.009766°		 ← 70.69 m → N 76.616994°
E 50.012512°		 →
↑
70.72 m
↓
↑
70.72 m
↓
N 76.616358°
E 50.009766°		 ← 70.70 m →
4 999 m²		 N 76.616358°
E 50.012512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638919830322266 y=0.158962249755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638919830322266 × 217)
    floor (0.638919830322266 × 131072)
    floor (83744.5)     		tx = 83744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158962249755859 × 217)
    floor (0.158962249755859 × 131072)
    floor (20835.5)     		ty = 20835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83744 / 20835 ti = "17/83744/20835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83744/20835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83744 ÷ 217
    83744 ÷ 131072     		x = 0.638916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20835 ÷ 217
    20835 ÷ 131072     		y = 0.158958435058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638916015625 × 2 - 1) × π
    0.27783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87283507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158958435058594 × 2 - 1) × π
    0.682083129882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.14282734991613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87283507} λ = 0.87283507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14282734991613))-π/2
    2×atan(8.52350251705204)-π/2
    2×1.45400756302312-π/2
    2.90801512604624-1.57079632675     		φ = 1.33721880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87283507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.009766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33721880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.616994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83744 KachelY 20835 0.87283507 1.33721880 50.009766 76.616994
    Oben rechts KachelX + 1 83745 KachelY 20835 0.87288301 1.33721880 50.012512 76.616994
    Unten links KachelX 83744 KachelY + 1 20836 0.87283507 1.33720770 50.009766 76.616358
    Unten rechts KachelX + 1 83745 KachelY + 1 20836 0.87288301 1.33720770 50.012512 76.616358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33721880-1.33720770) × R
    1.11000000000416e-05 × 6371000     		dl = 70.7181000002652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33721880-1.33720770) × R
    1.11000000000416e-05 × 6371000     		dr = 70.7181000002652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87283507-0.87288301) × cos(1.33721880) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231459374816116 × 6371000     		do = 70.6936508331032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87283507-0.87288301) × cos(1.33720770) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231470173376586 × 6371000     		du = 70.6969489914258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33721880)-sin(1.33720770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231459374816116-0.231470173376586)×R²
    abs(0.87288301-0.87283507)×1.07985604702321e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07985604702321e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07985604702321e-05×40589641000000     		ar = 4999.43728868061m²