Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83742 / 20826
↖ ↑ ↗
← N 76.622714°
E 50.004272°		 ← 70.66 m → N 76.622714°
E 50.007019°		 →
↑
70.65 m
↓
↑
70.65 m
↓
N 76.622079°
E 50.004272°		 ← 70.67 m →
4 993 m²		 N 76.622079°
E 50.007019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638904571533203 y=0.158893585205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638904571533203 × 217)
    floor (0.638904571533203 × 131072)
    floor (83742.5)     		tx = 83742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158893585205078 × 217)
    floor (0.158893585205078 × 131072)
    floor (20826.5)     		ty = 20826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83742 / 20826 ti = "17/83742/20826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83742/20826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83742 ÷ 217
    83742 ÷ 131072     		x = 0.638900756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20826 ÷ 217
    20826 ÷ 131072     		y = 0.158889770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638900756835938 × 2 - 1) × π
    0.277801513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87273919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158889770507812 × 2 - 1) × π
    0.682220458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14325878201271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87273919} λ = 0.87273919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14325878201271))-π/2
    2×atan(8.5271806229826)-π/2
    2×1.45405748204822-π/2
    2.90811496409644-1.57079632675     		φ = 1.33731864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87273919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.004272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33731864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.622714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83742 KachelY 20826 0.87273919 1.33731864 50.004272 76.622714
    Oben rechts KachelX + 1 83743 KachelY 20826 0.87278713 1.33731864 50.007019 76.622714
    Unten links KachelX 83742 KachelY + 1 20827 0.87273919 1.33730755 50.004272 76.622079
    Unten rechts KachelX + 1 83743 KachelY + 1 20827 0.87278713 1.33730755 50.007019 76.622079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33731864-1.33730755) × R
    1.10899999998804e-05 × 6371000     		dl = 70.6543899992378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33731864-1.33730755) × R
    1.10899999998804e-05 × 6371000     		dr = 70.6543899992378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87273919-0.87278713) × cos(1.33731864) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23136224486079 × 6371000     		do = 70.6639848446217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87273919-0.87278713) × cos(1.33730755) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23137303394907 × 6371000     		du = 70.6672801098935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33731864)-sin(1.33730755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23136224486079-0.23137303394907)×R²
    abs(0.87278713-0.87273919)×1.07890882800055e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07890882800055e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07890882800055e-05×40589641000000     		ar = 4992.83715663582m²