Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83741 / 20834
↖ ↑ ↗
← N 76.617629°
E 50.001526°		 ← 70.68 m → N 76.617629°
E 50.004272°		 →
↑
70.65 m
↓
↑
70.65 m
↓
N 76.616994°
E 50.001526°		 ← 70.68 m →
4 994 m²		 N 76.616994°
E 50.004272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638896942138672 y=0.158954620361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638896942138672 × 217)
    floor (0.638896942138672 × 131072)
    floor (83741.5)     		tx = 83741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158954620361328 × 217)
    floor (0.158954620361328 × 131072)
    floor (20834.5)     		ty = 20834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83741 / 20834 ti = "17/83741/20834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83741/20834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83741 ÷ 217
    83741 ÷ 131072     		x = 0.638893127441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20834 ÷ 217
    20834 ÷ 131072     		y = 0.158950805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638893127441406 × 2 - 1) × π
    0.277786254882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.87269126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158950805664062 × 2 - 1) × π
    0.682098388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14287528681575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87269126} λ = 0.87269126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14287528681575))-π/2
    2×atan(8.52391111713004)-π/2
    2×1.45401311061619-π/2
    2.90802622123238-1.57079632675     		φ = 1.33722989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87269126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.001526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33722989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.617629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83741 KachelY 20834 0.87269126 1.33722989 50.001526 76.617629
    Oben rechts KachelX + 1 83742 KachelY 20834 0.87273919 1.33722989 50.004272 76.617629
    Unten links KachelX 83741 KachelY + 1 20835 0.87269126 1.33721880 50.001526 76.616994
    Unten rechts KachelX + 1 83742 KachelY + 1 20835 0.87273919 1.33721880 50.004272 76.616994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33722989-1.33721880) × R
    1.10899999998804e-05 × 6371000     		dl = 70.6543899992378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33722989-1.33721880) × R
    1.10899999998804e-05 × 6371000     		dr = 70.6543899992378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87269126-0.87273919) × cos(1.33722989) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.231448585955599 × 6371000     		do = 70.6756100480745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87269126-0.87273919) × cos(1.33721880) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.231459374816116 × 6371000     		du = 70.6789045564233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33722989)-sin(1.33721880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231448585955599-0.231459374816116)×R²
    abs(0.87273919-0.87269126)×1.07888605167805e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.07888605167805e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.07888605167805e-05×40589641000000     		ar = 4993.65850160899m²