Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8374 / 25362
↖ ↑ ↗
← S 69.725722°
W 88.000488°		 ← 423.29 m → S 69.725722°
W 87.989502°		 →
↑
423.29 m
↓
↑
423.29 m
↓
S 69.729529°
W 88.000488°		 ← 423.22 m →
179 160 m²		 S 69.729529°
W 87.989502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.255569458007812 y=0.774002075195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.255569458007812 × 215)
    floor (0.255569458007812 × 32768)
    floor (8374.5)     		tx = 8374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774002075195312 × 215)
    floor (0.774002075195312 × 32768)
    floor (25362.5)     		ty = 25362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8374 / 25362 ti = "15/8374/25362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8374/25362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8374 ÷ 215
    8374 ÷ 32768     		x = 0.25555419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25362 ÷ 215
    25362 ÷ 32768     		y = 0.77398681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25555419921875 × 2 - 1) × π
    -0.4888916015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.53589826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77398681640625 × 2 - 1) × π
    -0.5479736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72150993915546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53589826} λ = -1.53589826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72150993915546))-π/2
    2×atan(0.178795972948554)-π/2
    2×0.176926453039707-π/2
    0.353852906079414-1.57079632675     		φ = -1.21694342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53589826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.000488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21694342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.725722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8374 KachelY 25362 -1.53589826 -1.21694342 -88.000488 -69.725722
    Oben rechts KachelX + 1 8375 KachelY 25362 -1.53570652 -1.21694342 -87.989502 -69.725722
    Unten links KachelX 8374 KachelY + 1 25363 -1.53589826 -1.21700986 -88.000488 -69.729529
    Unten rechts KachelX + 1 8375 KachelY + 1 25363 -1.53570652 -1.21700986 -87.989502 -69.729529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21694342--1.21700986) × R
    6.6440000000112e-05 × 6371000     		dl = 423.289240000713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21694342--1.21700986) × R
    6.6440000000112e-05 × 6371000     		dr = 423.289240000713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53589826--1.53570652) × cos(-1.21694342) × R
    0.000191739999999996 × 0.346514568871904 × 6371000     		do = 423.293721587554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53589826--1.53570652) × cos(-1.21700986) × R
    0.000191739999999996 × 0.346452244424559 × 6371000     		du = 423.217587567134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21694342)-sin(-1.21700986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346514568871904-0.346452244424559)×R²
    abs(-1.53570652--1.53589826)×6.23244473447748e-05×R²
    0.000191739999999996×6.23244473447748e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.23244473447748e-05×40589641000000     		ar = 179159.564417829m²