Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8374 / 25010
↖ ↑ ↗
← N 39.155622°
W134.000244°		 ← 473.67 m → N 39.155622°
W133.994751°		 →
↑
473.62 m
↓
↑
473.62 m
↓
N 39.151363°
W134.000244°		 ← 473.70 m →
224 349 m²		 N 39.151363°
W133.994751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127784729003906 y=0.381629943847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127784729003906 × 216)
    floor (0.127784729003906 × 65536)
    floor (8374.5)     		tx = 8374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381629943847656 × 216)
    floor (0.381629943847656 × 65536)
    floor (25010.5)     		ty = 25010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8374 / 25010 ti = "16/8374/25010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8374/25010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8374 ÷ 216
    8374 ÷ 65536     		x = 0.127777099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25010 ÷ 216
    25010 ÷ 65536     		y = 0.381622314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127777099609375 × 2 - 1) × π
    -0.74444580078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33874546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381622314453125 × 2 - 1) × π
    0.23675537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.743788934504791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33874546} λ = -2.33874546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.743788934504791))-π/2
    2×atan(2.10389194055512)-π/2
    2×1.12709542910563-π/2
    2.25419085821127-1.57079632675     		φ = 0.68339453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33874546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.000244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68339453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.155622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8374 KachelY 25010 -2.33874546 0.68339453 -134.000244 39.155622
    Oben rechts KachelX + 1 8375 KachelY 25010 -2.33864958 0.68339453 -133.994751 39.155622
    Unten links KachelX 8374 KachelY + 1 25011 -2.33874546 0.68332019 -134.000244 39.151363
    Unten rechts KachelX + 1 8375 KachelY + 1 25011 -2.33864958 0.68332019 -133.994751 39.151363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68339453-0.68332019) × R
    7.43399999999506e-05 × 6371000     		dl = 473.620139999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68339453-0.68332019) × R
    7.43399999999506e-05 × 6371000     		dr = 473.620139999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33874546--2.33864958) × cos(0.68339453) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.775433786149921 × 6371000     		do = 473.674875913566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33874546--2.33864958) × cos(0.68332019) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.775480724430878 × 6371000     		du = 473.703548231958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68339453)-sin(0.68332019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775433786149921-0.775480724430878)×R²
    abs(-2.33864958--2.33874546)×4.69382809570318e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.69382809570318e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.69382809570318e-05×40589641000000     		ar = 224348.751041543m²