Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8374 / 24901
↖ ↑ ↗
← N 39.618384°
W134.000244°		 ← 470.54 m → N 39.618384°
W133.994751°		 →
↑
470.56 m
↓
↑
470.56 m
↓
N 39.614152°
W134.000244°		 ← 470.57 m →
221 427 m²		 N 39.614152°
W133.994751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127784729003906 y=0.379966735839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127784729003906 × 216)
    floor (0.127784729003906 × 65536)
    floor (8374.5)     		tx = 8374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379966735839844 × 216)
    floor (0.379966735839844 × 65536)
    floor (24901.5)     		ty = 24901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8374 / 24901 ti = "16/8374/24901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8374/24901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8374 ÷ 216
    8374 ÷ 65536     		x = 0.127777099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24901 ÷ 216
    24901 ÷ 65536     		y = 0.379959106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127777099609375 × 2 - 1) × π
    -0.74444580078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33874546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379959106445312 × 2 - 1) × π
    0.240081787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.754239178621964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33874546} λ = -2.33874546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.754239178621964))-π/2
    2×atan(2.12599340665112)-π/2
    2×1.1311337827926-π/2
    2.26226756558521-1.57079632675     		φ = 0.69147124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33874546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.000244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69147124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.618384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8374 KachelY 24901 -2.33874546 0.69147124 -134.000244 39.618384
    Oben rechts KachelX + 1 8375 KachelY 24901 -2.33864958 0.69147124 -133.994751 39.618384
    Unten links KachelX 8374 KachelY + 1 24902 -2.33874546 0.69139738 -134.000244 39.614152
    Unten rechts KachelX + 1 8375 KachelY + 1 24902 -2.33864958 0.69139738 -133.994751 39.614152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69147124-0.69139738) × R
    7.38600000000922e-05 × 6371000     		dl = 470.562060000587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69147124-0.69139738) × R
    7.38600000000922e-05 × 6371000     		dr = 470.562060000587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33874546--2.33864958) × cos(0.69147124) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.770308681671957 × 6371000     		do = 470.544198258035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33874546--2.33864958) × cos(0.69139738) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.770355777964203 × 6371000     		du = 470.572967097856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69147124)-sin(0.69139738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770308681671957-0.770355777964203)×R²
    abs(-2.33864958--2.33874546)×4.70962922456408e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.70962922456408e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.70962922456408e-05×40589641000000     		ar = 221427.016116449m²