Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83737 / 20855
↖ ↑ ↗
← N 76.604273°
E 49.990540°		 ← 70.76 m → N 76.604273°
E 49.993286°		 →
↑
70.78 m
↓
↑
70.78 m
↓
N 76.603637°
E 49.990540°		 ← 70.76 m →
5 009 m²		 N 76.603637°
E 49.993286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638866424560547 y=0.159114837646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638866424560547 × 217)
    floor (0.638866424560547 × 131072)
    floor (83737.5)     		tx = 83737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159114837646484 × 217)
    floor (0.159114837646484 × 131072)
    floor (20855.5)     		ty = 20855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83737 / 20855 ti = "17/83737/20855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83737/20855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83737 ÷ 217
    83737 ÷ 131072     		x = 0.638862609863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20855 ÷ 217
    20855 ÷ 131072     		y = 0.159111022949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638862609863281 × 2 - 1) × π
    0.277725219726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.87249951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159111022949219 × 2 - 1) × π
    0.681777954101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.14186861192373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87249951} λ = 0.87249951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14186861192373))-π/2
    2×atan(8.51533462741931)-π/2
    2×1.45389655681565-π/2
    2.9077931136313-1.57079632675     		φ = 1.33699679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87249951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.990540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33699679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.604273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83737 KachelY 20855 0.87249951 1.33699679 49.990540 76.604273
    Oben rechts KachelX + 1 83738 KachelY 20855 0.87254745 1.33699679 49.993286 76.604273
    Unten links KachelX 83737 KachelY + 1 20856 0.87249951 1.33698568 49.990540 76.603637
    Unten rechts KachelX + 1 83738 KachelY + 1 20856 0.87254745 1.33698568 49.993286 76.603637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33699679-1.33698568) × R
    1.11099999999809e-05 × 6371000     		dl = 70.781809999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33699679-1.33698568) × R
    1.11099999999809e-05 × 6371000     		dr = 70.781809999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87249951-0.87254745) × cos(1.33699679) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231675350333241 × 6371000     		do = 70.759615315243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87249951-0.87254745) × cos(1.33698568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23168615805095 × 6371000     		du = 70.7629162704219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33699679)-sin(1.33698568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231675350333241-0.23168615805095)×R²
    abs(0.87254745-0.87249951)×1.08077177087273e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08077177087273e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08077177087273e-05×40589641000000     		ar = 5008.61047086325m²