Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8373 / 5825
↖ ↑ ↗
← N 46.057985°
E  3.977051°		 ← 1 695.46 m → N 46.057985°
E  3.999024°		 →
↑
1 695.71 m
↓
↑
1 695.71 m
↓
N 46.042735°
E  3.977051°		 ← 1 695.93 m →
2 875 405 m²		 N 46.042735°
E  3.999024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511077880859375 y=0.355560302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511077880859375 × 214)
    floor (0.511077880859375 × 16384)
    floor (8373.5)     		tx = 8373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.355560302734375 × 214)
    floor (0.355560302734375 × 16384)
    floor (5825.5)     		ty = 5825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8373 / 5825 ti = "14/8373/5825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8373/5825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8373 ÷ 214
    8373 ÷ 16384     		x = 0.51104736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5825 ÷ 214
    5825 ÷ 16384     		y = 0.35552978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51104736328125 × 2 - 1) × π
    0.0220947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06941263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35552978515625 × 2 - 1) × π
    0.2889404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.907733131205383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06941263} λ = 0.06941263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.907733131205383))-π/2
    2×atan(2.47869727842446)-π/2
    2×1.18732990806675-π/2
    2.3746598161335-1.57079632675     		φ = 0.80386349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06941263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.977051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80386349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.057985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8373 KachelY 5825 0.06941263 0.80386349 3.977051 46.057985
    Oben rechts KachelX + 1 8374 KachelY 5825 0.06979613 0.80386349 3.999024 46.057985
    Unten links KachelX 8373 KachelY + 1 5826 0.06941263 0.80359733 3.977051 46.042735
    Unten rechts KachelX + 1 8374 KachelY + 1 5826 0.06979613 0.80359733 3.999024 46.042735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80386349-0.80359733) × R
    0.000266160000000015 × 6371000     		dl = 1695.7053600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80386349-0.80359733) × R
    0.000266160000000015 × 6371000     		dr = 1695.7053600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06941263-0.06979613) × cos(0.80386349) × R
    0.000383499999999995 × 0.693930018449317 × 6371000     		do = 1695.4642945818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06941263-0.06979613) × cos(0.80359733) × R
    0.000383499999999995 × 0.694121640366091 × 6371000     		du = 1695.93248029118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80386349)-sin(0.80359733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693930018449317-0.694121640366091)×R²
    abs(0.06979613-0.06941263)×0.00019162191677391×R²
    0.000383499999999995×0.00019162191677391×6371000²
    0.000383499999999995×0.00019162191677391×40589641000000     		ar = 2875404.86149374m²