Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8373 / 24909
↖ ↑ ↗
← N 39.584524°
W134.005737°		 ← 470.73 m → N 39.584524°
W134.000244°		 →
↑
470.82 m
↓
↑
470.82 m
↓
N 39.580290°
W134.005737°		 ← 470.75 m →
221 632 m²		 N 39.580290°
W134.000244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127769470214844 y=0.380088806152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127769470214844 × 216)
    floor (0.127769470214844 × 65536)
    floor (8373.5)     		tx = 8373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380088806152344 × 216)
    floor (0.380088806152344 × 65536)
    floor (24909.5)     		ty = 24909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8373 / 24909 ti = "16/8373/24909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8373/24909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8373 ÷ 216
    8373 ÷ 65536     		x = 0.127761840820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24909 ÷ 216
    24909 ÷ 65536     		y = 0.380081176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127761840820312 × 2 - 1) × π
    -0.744476318359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33884133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380081176757812 × 2 - 1) × π
    0.239837646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.753472188228043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33884133} λ = -2.33884133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.753472188228043))-π/2
    2×atan(2.12436341530444)-π/2
    2×1.13083830087751-π/2
    2.26167660175503-1.57079632675     		φ = 0.69088028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33884133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.005737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69088028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.584524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8373 KachelY 24909 -2.33884133 0.69088028 -134.005737 39.584524
    Oben rechts KachelX + 1 8374 KachelY 24909 -2.33874546 0.69088028 -134.000244 39.584524
    Unten links KachelX 8373 KachelY + 1 24910 -2.33884133 0.69080638 -134.005737 39.580290
    Unten rechts KachelX + 1 8374 KachelY + 1 24910 -2.33874546 0.69080638 -134.000244 39.580290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69088028-0.69080638) × R
    7.38999999999601e-05 × 6371000     		dl = 470.816899999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69088028-0.69080638) × R
    7.38999999999601e-05 × 6371000     		dr = 470.816899999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33884133--2.33874546) × cos(0.69088028) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.770685385302203 × 6371000     		do = 470.725207860313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33884133--2.33874546) × cos(0.69080638) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.770732473448887 × 6371000     		du = 470.753968724419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69088028)-sin(0.69080638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770685385302203-0.770732473448887)×R²
    abs(-2.33874546--2.33884133)×4.70881466834161e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70881466834161e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70881466834161e-05×40589641000000     		ar = 221632.15376762m²