Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83729 / 20913
↖ ↑ ↗
← N 76.567317°
E 49.968567°		 ← 70.95 m → N 76.567317°
E 49.971313°		 →
↑
70.97 m
↓
↑
70.97 m
↓
N 76.566679°
E 49.968567°		 ← 70.95 m →
5 036 m²		 N 76.566679°
E 49.971313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638805389404297 y=0.159557342529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638805389404297 × 217)
    floor (0.638805389404297 × 131072)
    floor (83729.5)     		tx = 83729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159557342529297 × 217)
    floor (0.159557342529297 × 131072)
    floor (20913.5)     		ty = 20913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83729 / 20913 ti = "17/83729/20913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83729/20913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83729 ÷ 217
    83729 ÷ 131072     		x = 0.638801574707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20913 ÷ 217
    20913 ÷ 131072     		y = 0.159553527832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638801574707031 × 2 - 1) × π
    0.277603149414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.87211601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159553527832031 × 2 - 1) × π
    0.680892944335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.13908827174577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87211601} λ = 0.87211601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13908827174577))-π/2
    2×atan(8.49169198295343)-π/2
    2×1.45357405275019-π/2
    2.90714810550038-1.57079632675     		φ = 1.33635178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87211601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.968567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33635178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.567317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83729 KachelY 20913 0.87211601 1.33635178 49.968567 76.567317
    Oben rechts KachelX + 1 83730 KachelY 20913 0.87216395 1.33635178 49.971313 76.567317
    Unten links KachelX 83729 KachelY + 1 20914 0.87211601 1.33634064 49.968567 76.566679
    Unten rechts KachelX + 1 83730 KachelY + 1 20914 0.87216395 1.33634064 49.971313 76.566679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33635178-1.33634064) × R
    1.11400000000206e-05 × 6371000     		dl = 70.9729400001311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33635178-1.33634064) × R
    1.11400000000206e-05 × 6371000     		dr = 70.9729400001311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87211601-0.87216395) × cos(1.33635178) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232302763412972 × 6371000     		do = 70.9512434194053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87211601-0.87216395) × cos(1.33634064) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232313598647422 × 6371000     		du = 70.9545527789054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33635178)-sin(1.33634064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232302763412972-0.232313598647422)×R²
    abs(0.87216395-0.87211601)×1.08352344504459e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08352344504459e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08352344504459e-05×40589641000000     		ar = 5035.73577961616m²