Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83729 / 19857
↖ ↑ ↗
← N 77.224753°
E 49.968567°		 ← 67.54 m → N 77.224753°
E 49.971313°		 →
↑
67.53 m
↓
↑
67.53 m
↓
N 77.224145°
E 49.968567°		 ← 67.54 m →
4 561 m²		 N 77.224145°
E 49.971313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638805389404297 y=0.151500701904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638805389404297 × 217)
    floor (0.638805389404297 × 131072)
    floor (83729.5)     		tx = 83729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151500701904297 × 217)
    floor (0.151500701904297 × 131072)
    floor (19857.5)     		ty = 19857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83729 / 19857 ti = "17/83729/19857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83729/19857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83729 ÷ 217
    83729 ÷ 131072     		x = 0.638801574707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19857 ÷ 217
    19857 ÷ 131072     		y = 0.151496887207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638801574707031 × 2 - 1) × π
    0.277603149414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.87211601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151496887207031 × 2 - 1) × π
    0.697006225585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.18970963774454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87211601} λ = 0.87211601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18970963774454))-π/2
    2×atan(8.93261904269432)-π/2
    2×1.45931126454256-π/2
    2.91862252908511-1.57079632675     		φ = 1.34782620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87211601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.968567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34782620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.224753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83729 KachelY 19857 0.87211601 1.34782620 49.968567 77.224753
    Oben rechts KachelX + 1 83730 KachelY 19857 0.87216395 1.34782620 49.971313 77.224753
    Unten links KachelX 83729 KachelY + 1 19858 0.87211601 1.34781560 49.968567 77.224145
    Unten rechts KachelX + 1 83730 KachelY + 1 19858 0.87216395 1.34781560 49.971313 77.224145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34782620-1.34781560) × R
    1.06000000001938e-05 × 6371000     		dl = 67.5326000012346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34782620-1.34781560) × R
    1.06000000001938e-05 × 6371000     		dr = 67.5326000012346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87211601-0.87216395) × cos(1.34782620) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221127195410232 × 6371000     		do = 67.5379372922503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87211601-0.87216395) × cos(1.34781560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221137532994556 × 6371000     		du = 67.5410946565923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34782620)-sin(1.34781560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221127195410232-0.221137532994556)×R²
    abs(0.87216395-0.87211601)×1.03375843239495e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03375843239495e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03375843239495e-05×40589641000000     		ar = 4561.11911669838m²