Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83729 / 19855
↖ ↑ ↗
← N 77.225967°
E 49.968567°		 ← 67.53 m → N 77.225967°
E 49.971313°		 →
↑
67.53 m
↓
↑
67.53 m
↓
N 77.225360°
E 49.968567°		 ← 67.53 m →
4 561 m²		 N 77.225360°
E 49.971313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638805389404297 y=0.151485443115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638805389404297 × 217)
    floor (0.638805389404297 × 131072)
    floor (83729.5)     		tx = 83729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151485443115234 × 217)
    floor (0.151485443115234 × 131072)
    floor (19855.5)     		ty = 19855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83729 / 19855 ti = "17/83729/19855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83729/19855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83729 ÷ 217
    83729 ÷ 131072     		x = 0.638801574707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19855 ÷ 217
    19855 ÷ 131072     		y = 0.151481628417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638801574707031 × 2 - 1) × π
    0.277603149414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.87211601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151481628417969 × 2 - 1) × π
    0.697036743164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.18980551154379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87211601} λ = 0.87211601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18980551154379))-π/2
    2×atan(8.93347548787378)-π/2
    2×1.45932186419907-π/2
    2.91864372839815-1.57079632675     		φ = 1.34784740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87211601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.968567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34784740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.225967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83729 KachelY 19855 0.87211601 1.34784740 49.968567 77.225967
    Oben rechts KachelX + 1 83730 KachelY 19855 0.87216395 1.34784740 49.971313 77.225967
    Unten links KachelX 83729 KachelY + 1 19856 0.87211601 1.34783680 49.968567 77.225360
    Unten rechts KachelX + 1 83730 KachelY + 1 19856 0.87216395 1.34783680 49.971313 77.225360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34784740-1.34783680) × R
    1.05999999999717e-05 × 6371000     		dl = 67.53259999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34784740-1.34783680) × R
    1.05999999999717e-05 × 6371000     		dr = 67.53259999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87211601-0.87216395) × cos(1.34784740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221106520167048 × 6371000     		do = 67.5316225408012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87211601-0.87216395) × cos(1.34783680) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221116857801062 × 6371000     		du = 67.5347799203199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34784740)-sin(1.34783680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221106520167048-0.221116857801062)×R²
    abs(0.87216395-0.87211601)×1.03376340142847e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03376340142847e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03376340142847e-05×40589641000000     		ar = 4560.69266532443m²