Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83728 / 20914
↖ ↑ ↗
← N 76.566679°
E 49.965820°		 ← 70.94 m → N 76.566679°
E 49.968567°		 →
↑
70.91 m
↓
↑
70.91 m
↓
N 76.566041°
E 49.965820°		 ← 70.94 m →
5 030 m²		 N 76.566041°
E 49.968567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638797760009766 y=0.159564971923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638797760009766 × 217)
    floor (0.638797760009766 × 131072)
    floor (83728.5)     		tx = 83728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159564971923828 × 217)
    floor (0.159564971923828 × 131072)
    floor (20914.5)     		ty = 20914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83728 / 20914 ti = "17/83728/20914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83728/20914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83728 ÷ 217
    83728 ÷ 131072     		x = 0.6387939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20914 ÷ 217
    20914 ÷ 131072     		y = 0.159561157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6387939453125 × 2 - 1) × π
    0.277587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87206808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159561157226562 × 2 - 1) × π
    0.680877685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13904033484615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87206808} λ = 0.87206808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13904033484615))-π/2
    2×atan(8.49128492732381)-π/2
    2×1.45356848468323-π/2
    2.90713696936646-1.57079632675     		φ = 1.33634064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87206808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.965820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33634064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.566679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83728 KachelY 20914 0.87206808 1.33634064 49.965820 76.566679
    Oben rechts KachelX + 1 83729 KachelY 20914 0.87211601 1.33634064 49.968567 76.566679
    Unten links KachelX 83728 KachelY + 1 20915 0.87206808 1.33632951 49.965820 76.566041
    Unten rechts KachelX + 1 83729 KachelY + 1 20915 0.87211601 1.33632951 49.968567 76.566041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33634064-1.33632951) × R
    1.11299999998593e-05 × 6371000     		dl = 70.9092299991036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33634064-1.33632951) × R
    1.11299999998593e-05 × 6371000     		dr = 70.9092299991036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87206808-0.87211601) × cos(1.33634064) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.232313598647422 × 6371000     		do = 70.9397520796255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87206808-0.87211601) × cos(1.33632951) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.232324424126659 × 6371000     		du = 70.943057769941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33634064)-sin(1.33632951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232313598647422-0.232324424126659)×R²
    abs(0.87211601-0.87206808)×1.08254792367535e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.08254792367535e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.08254792367535e-05×40589641000000     		ar = 5030.40039835354m²