Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83728 / 20816
↖ ↑ ↗
← N 76.629067°
E 49.965820°		 ← 70.62 m → N 76.629067°
E 49.968567°		 →
↑
70.65 m
↓
↑
70.65 m
↓
N 76.628431°
E 49.965820°		 ← 70.62 m →
4 989 m²		 N 76.628431°
E 49.968567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638797760009766 y=0.158817291259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638797760009766 × 217)
    floor (0.638797760009766 × 131072)
    floor (83728.5)     		tx = 83728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158817291259766 × 217)
    floor (0.158817291259766 × 131072)
    floor (20816.5)     		ty = 20816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83728 / 20816 ti = "17/83728/20816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83728/20816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83728 ÷ 217
    83728 ÷ 131072     		x = 0.6387939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20816 ÷ 217
    20816 ÷ 131072     		y = 0.1588134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6387939453125 × 2 - 1) × π
    0.277587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87206808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1588134765625 × 2 - 1) × π
    0.682373046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14373815100891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87206808} λ = 0.87206808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14373815100891))-π/2
    2×atan(8.53126926890501)-π/2
    2×1.45411292306346-π/2
    2.90822584612692-1.57079632675     		φ = 1.33742952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87206808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.965820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33742952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.629067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83728 KachelY 20816 0.87206808 1.33742952 49.965820 76.629067
    Oben rechts KachelX + 1 83729 KachelY 20816 0.87211601 1.33742952 49.968567 76.629067
    Unten links KachelX 83728 KachelY + 1 20817 0.87206808 1.33741843 49.965820 76.628431
    Unten rechts KachelX + 1 83729 KachelY + 1 20817 0.87211601 1.33741843 49.968567 76.628431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33742952-1.33741843) × R
    1.10899999998804e-05 × 6371000     		dl = 70.6543899992378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33742952-1.33741843) × R
    1.10899999998804e-05 × 6371000     		dr = 70.6543899992378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87206808-0.87211601) × cos(1.33742952) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.23125437187106 × 6371000     		do = 70.6163044409651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87206808-0.87211601) × cos(1.33741843) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.231265161243777 × 6371000     		du = 70.6195991057204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33742952)-sin(1.33741843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23125437187106-0.231265161243777)×R²
    abs(0.87211601-0.87206808)×1.0789372717035e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0789372717035e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0789372717035e-05×40589641000000     		ar = 4989.46830546708m²