Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83727 / 20717
↖ ↑ ↗
← N 76.691803°
E 49.963074°		 ← 70.31 m → N 76.691803°
E 49.965820°		 →
↑
70.34 m
↓
↑
70.34 m
↓
N 76.691170°
E 49.963074°		 ← 70.31 m →
4 945 m²		 N 76.691170°
E 49.965820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638790130615234 y=0.158061981201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638790130615234 × 217)
    floor (0.638790130615234 × 131072)
    floor (83727.5)     		tx = 83727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158061981201172 × 217)
    floor (0.158061981201172 × 131072)
    floor (20717.5)     		ty = 20717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83727 / 20717 ti = "17/83727/20717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83727/20717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83727 ÷ 217
    83727 ÷ 131072     		x = 0.638786315917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20717 ÷ 217
    20717 ÷ 131072     		y = 0.158058166503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638786315917969 × 2 - 1) × π
    0.277572631835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.87202014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158058166503906 × 2 - 1) × π
    0.683883666992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.1484839040713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87202014} λ = 0.87202014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1484839040713))-π/2
    2×atan(8.57185278967889)-π/2
    2×1.4546603961822-π/2
    2.9093207923644-1.57079632675     		φ = 1.33852447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87202014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.963074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33852447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.691803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83727 KachelY 20717 0.87202014 1.33852447 49.963074 76.691803
    Oben rechts KachelX + 1 83728 KachelY 20717 0.87206808 1.33852447 49.965820 76.691803
    Unten links KachelX 83727 KachelY + 1 20718 0.87202014 1.33851343 49.963074 76.691170
    Unten rechts KachelX + 1 83728 KachelY + 1 20718 0.87206808 1.33851343 49.965820 76.691170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33852447-1.33851343) × R
    1.10400000001842e-05 × 6371000     		dl = 70.3358400011738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33852447-1.33851343) × R
    1.10400000001842e-05 × 6371000     		dr = 70.3358400011738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87202014-0.87206808) × cos(1.33852447) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230188963914068 × 6371000     		do = 70.3056346432414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87202014-0.87206808) × cos(1.33851343) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230199707431333 × 6371000     		du = 70.3089159899523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33852447)-sin(1.33851343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230188963914068-0.230199707431333)×R²
    abs(0.87206808-0.87202014)×1.07435172650994e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07435172650994e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07435172650994e-05×40589641000000     		ar = 4945.12126754021m²