Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83727 / 19986
↖ ↑ ↗
← N 77.146169°
E 49.963074°		 ← 67.95 m → N 77.146169°
E 49.965820°		 →
↑
67.91 m
↓
↑
67.91 m
↓
N 77.145558°
E 49.963074°		 ← 67.95 m →
4 615 m²		 N 77.145558°
E 49.965820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638790130615234 y=0.152484893798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638790130615234 × 217)
    floor (0.638790130615234 × 131072)
    floor (83727.5)     		tx = 83727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152484893798828 × 217)
    floor (0.152484893798828 × 131072)
    floor (19986.5)     		ty = 19986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83727 / 19986 ti = "17/83727/19986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83727/19986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83727 ÷ 217
    83727 ÷ 131072     		x = 0.638786315917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19986 ÷ 217
    19986 ÷ 131072     		y = 0.152481079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638786315917969 × 2 - 1) × π
    0.277572631835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.87202014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152481079101562 × 2 - 1) × π
    0.695037841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18352577769356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87202014} λ = 0.87202014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18352577769356))-π/2
    2×atan(8.87755141737231)-π/2
    2×1.45862548914731-π/2
    2.91725097829461-1.57079632675     		φ = 1.34645465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87202014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.963074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34645465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.146169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83727 KachelY 19986 0.87202014 1.34645465 49.963074 77.146169
    Oben rechts KachelX + 1 83728 KachelY 19986 0.87206808 1.34645465 49.965820 77.146169
    Unten links KachelX 83727 KachelY + 1 19987 0.87202014 1.34644399 49.963074 77.145558
    Unten rechts KachelX + 1 83728 KachelY + 1 19987 0.87206808 1.34644399 49.965820 77.145558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34645465-1.34644399) × R
    1.06600000000512e-05 × 6371000     		dl = 67.9148600003261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34645465-1.34644399) × R
    1.06600000000512e-05 × 6371000     		dr = 67.9148600003261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87202014-0.87206808) × cos(1.34645465) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222464584251248 × 6371000     		do = 67.9464102686851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87202014-0.87206808) × cos(1.34644399) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222474977107236 × 6371000     		du = 67.9495845144162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34645465)-sin(1.34644399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222464584251248-0.222474977107236)×R²
    abs(0.87206808-0.87202014)×1.03928559885835e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03928559885835e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03928559885835e-05×40589641000000     		ar = 4614.67873022028m²