Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83726 / 20896
↖ ↑ ↗
← N 76.578159°
E 49.960327°		 ← 70.90 m → N 76.578159°
E 49.963074°		 →
↑
70.85 m
↓
↑
70.85 m
↓
N 76.577522°
E 49.960327°		 ← 70.90 m →
5 023 m²		 N 76.577522°
E 49.963074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638782501220703 y=0.159427642822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638782501220703 × 217)
    floor (0.638782501220703 × 131072)
    floor (83726.5)     		tx = 83726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159427642822266 × 217)
    floor (0.159427642822266 × 131072)
    floor (20896.5)     		ty = 20896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83726 / 20896 ti = "17/83726/20896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83726/20896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83726 ÷ 217
    83726 ÷ 131072     		x = 0.638778686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20896 ÷ 217
    20896 ÷ 131072     		y = 0.159423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638778686523438 × 2 - 1) × π
    0.277557373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87197220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159423828125 × 2 - 1) × π
    0.68115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13990319903931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87197220} λ = 0.87197220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13990319903931))-π/2
    2×atan(8.49861491497868)-π/2
    2×1.45366867017784-π/2
    2.90733734035567-1.57079632675     		φ = 1.33654101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87197220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.960327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33654101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.578159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83726 KachelY 20896 0.87197220 1.33654101 49.960327 76.578159
    Oben rechts KachelX + 1 83727 KachelY 20896 0.87202014 1.33654101 49.963074 76.578159
    Unten links KachelX 83726 KachelY + 1 20897 0.87197220 1.33652989 49.960327 76.577522
    Unten rechts KachelX + 1 83727 KachelY + 1 20897 0.87202014 1.33652989 49.963074 76.577522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33654101-1.33652989) × R
    1.11199999999201e-05 × 6371000     		dl = 70.8455199994908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33654101-1.33652989) × R
    1.11199999999201e-05 × 6371000     		dr = 70.8455199994908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87197220-0.87202014) × cos(1.33654101) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.232118705920746 × 6371000     		do = 70.895027523804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87197220-0.87202014) × cos(1.33652989) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.232129522191016 × 6371000     		du = 70.8983310911551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33654101)-sin(1.33652989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232118705920746-0.232129522191016)×R²
    abs(0.87202014-0.87197220)×1.08162702694981e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.08162702694981e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.08162702694981e-05×40589641000000     		ar = 5022.71211178943m²