Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83726 / 20718
↖ ↑ ↗
← N 76.691170°
E 49.960327°		 ← 70.31 m → N 76.691170°
E 49.963074°		 →
↑
70.27 m
↓
↑
70.27 m
↓
N 76.690538°
E 49.960327°		 ← 70.31 m →
4 941 m²		 N 76.690538°
E 49.963074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638782501220703 y=0.158069610595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638782501220703 × 217)
    floor (0.638782501220703 × 131072)
    floor (83726.5)     		tx = 83726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158069610595703 × 217)
    floor (0.158069610595703 × 131072)
    floor (20718.5)     		ty = 20718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83726 / 20718 ti = "17/83726/20718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83726/20718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83726 ÷ 217
    83726 ÷ 131072     		x = 0.638778686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20718 ÷ 217
    20718 ÷ 131072     		y = 0.158065795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638778686523438 × 2 - 1) × π
    0.277557373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87197220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158065795898438 × 2 - 1) × π
    0.683868408203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.14843596717168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87197220} λ = 0.87197220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14843596717168))-π/2
    2×atan(8.57144189148083)-π/2
    2×1.45465487878078-π/2
    2.90930975756155-1.57079632675     		φ = 1.33851343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87197220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.960327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33851343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.691170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83726 KachelY 20718 0.87197220 1.33851343 49.960327 76.691170
    Oben rechts KachelX + 1 83727 KachelY 20718 0.87202014 1.33851343 49.963074 76.691170
    Unten links KachelX 83726 KachelY + 1 20719 0.87197220 1.33850240 49.960327 76.690538
    Unten rechts KachelX + 1 83727 KachelY + 1 20719 0.87202014 1.33850240 49.963074 76.690538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33851343-1.33850240) × R
    1.10299999998009e-05 × 6371000     		dl = 70.2721299987317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33851343-1.33850240) × R
    1.10299999998009e-05 × 6371000     		dr = 70.2721299987317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87197220-0.87202014) × cos(1.33851343) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.230199707431333 × 6371000     		do = 70.3089159901151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87197220-0.87202014) × cos(1.33850240) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.230210441189132 × 6371000     		du = 70.3121943560338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33851343)-sin(1.33850240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230199707431333-0.230210441189132)×R²
    abs(0.87202014-0.87197220)×1.07337577989475e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.07337577989475e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.07337577989475e-05×40589641000000     		ar = 4940.87247335947m²