Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83723 / 20732
↖ ↑ ↗
← N 76.682316°
E 49.952087°		 ← 70.35 m → N 76.682316°
E 49.954834°		 →
↑
70.34 m
↓
↑
70.34 m
↓
N 76.681683°
E 49.952087°		 ← 70.36 m →
4 949 m²		 N 76.681683°
E 49.954834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638759613037109 y=0.158176422119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638759613037109 × 217)
    floor (0.638759613037109 × 131072)
    floor (83723.5)     		tx = 83723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158176422119141 × 217)
    floor (0.158176422119141 × 131072)
    floor (20732.5)     		ty = 20732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83723 / 20732 ti = "17/83723/20732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83723/20732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83723 ÷ 217
    83723 ÷ 131072     		x = 0.638755798339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20732 ÷ 217
    20732 ÷ 131072     		y = 0.158172607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638755798339844 × 2 - 1) × π
    0.277511596679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.87182839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158172607421875 × 2 - 1) × π
    0.68365478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.147764850577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87182839} λ = 0.87182839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.147764850577))-π/2
    2×atan(8.5656913844333)-π/2
    2×1.45457760812976-π/2
    2.90915521625952-1.57079632675     		φ = 1.33835889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87182839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.952087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33835889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.682316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83723 KachelY 20732 0.87182839 1.33835889 49.952087 76.682316
    Oben rechts KachelX + 1 83724 KachelY 20732 0.87187633 1.33835889 49.954834 76.682316
    Unten links KachelX 83723 KachelY + 1 20733 0.87182839 1.33834785 49.952087 76.681683
    Unten rechts KachelX + 1 83724 KachelY + 1 20733 0.87187633 1.33834785 49.954834 76.681683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33835889-1.33834785) × R
    1.10400000001842e-05 × 6371000     		dl = 70.3358400011738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33835889-1.33834785) × R
    1.10400000001842e-05 × 6371000     		dr = 70.3358400011738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87182839-0.87187633) × cos(1.33835889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230350094264293 × 6371000     		do = 70.3548479996954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87182839-0.87187633) × cos(1.33834785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230360837360615 × 6371000     		du = 70.3581292178394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33835889)-sin(1.33834785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230350094264293-0.230360837360615)×R²
    abs(0.87187633-0.87182839)×1.07430963218746e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07430963218746e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07430963218746e-05×40589641000000     		ar = 4948.5827259413m²