Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8372 / 6126
↖ ↑ ↗
← N 41.277806°
E  3.955078°		 ← 1 836.12 m → N 41.277806°
E  3.977051°		 →
↑
1 836.38 m
↓
↑
1 836.38 m
↓
N 41.261291°
E  3.955078°		 ← 1 836.59 m →
3 372 243 m²		 N 41.261291°
E  3.977051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511016845703125 y=0.373931884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511016845703125 × 214)
    floor (0.511016845703125 × 16384)
    floor (8372.5)     		tx = 8372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373931884765625 × 214)
    floor (0.373931884765625 × 16384)
    floor (6126.5)     		ty = 6126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8372 / 6126 ti = "14/8372/6126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8372/6126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8372 ÷ 214
    8372 ÷ 16384     		x = 0.510986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6126 ÷ 214
    6126 ÷ 16384     		y = 0.3739013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510986328125 × 2 - 1) × π
    0.02197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06902914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3739013671875 × 2 - 1) × π
    0.252197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.792301076920288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06902914} λ = 0.06902914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.792301076920288))-π/2
    2×atan(2.20847244883807)-π/2
    2×1.14561497881735-π/2
    2.2912299576347-1.57079632675     		φ = 0.72043363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06902914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.955078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72043363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.277806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8372 KachelY 6126 0.06902914 0.72043363 3.955078 41.277806
    Oben rechts KachelX + 1 8373 KachelY 6126 0.06941263 0.72043363 3.977051 41.277806
    Unten links KachelX 8372 KachelY + 1 6127 0.06902914 0.72014539 3.955078 41.261291
    Unten rechts KachelX + 1 8373 KachelY + 1 6127 0.06941263 0.72014539 3.977051 41.261291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72043363-0.72014539) × R
    0.000288240000000051 × 6371000     		dl = 1836.37704000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72043363-0.72014539) × R
    0.000288240000000051 × 6371000     		dr = 1836.37704000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06902914-0.06941263) × cos(0.72043363) × R
    0.00038349 × 0.751519729491663 × 6371000     		do = 1836.12411807083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06902914-0.06941263) × cos(0.72014539) × R
    0.00038349 × 0.751709853257845 × 6371000     		du = 1836.5886312683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72043363)-sin(0.72014539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751519729491663-0.751709853257845)×R²
    abs(0.06941263-0.06902914)×0.000190123766181993×R²
    0.00038349×0.000190123766181993×6371000²
    0.00038349×0.000190123766181993×40589641000000     		ar = 3372242.70705059m²