Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8372 / 25068
↖ ↑ ↗
← N 38.908133°
W134.011231°		 ← 475.34 m → N 38.908133°
W134.005737°		 →
↑
475.34 m
↓
↑
475.34 m
↓
N 38.903858°
W134.011231°		 ← 475.37 m →
225 953 m²		 N 38.903858°
W134.005737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127754211425781 y=0.382514953613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127754211425781 × 216)
    floor (0.127754211425781 × 65536)
    floor (8372.5)     		tx = 8372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382514953613281 × 216)
    floor (0.382514953613281 × 65536)
    floor (25068.5)     		ty = 25068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8372 / 25068 ti = "16/8372/25068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8372/25068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8372 ÷ 216
    8372 ÷ 65536     		x = 0.12774658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25068 ÷ 216
    25068 ÷ 65536     		y = 0.38250732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12774658203125 × 2 - 1) × π
    -0.7445068359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33893721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38250732421875 × 2 - 1) × π
    0.2349853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.738228254148865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33893721} λ = -2.33893721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.738228254148865))-π/2
    2×atan(2.09222533715851)-π/2
    2×1.12493567668097-π/2
    2.24987135336195-1.57079632675     		φ = 0.67907503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33893721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.011231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67907503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.908133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8372 KachelY 25068 -2.33893721 0.67907503 -134.011231 38.908133
    Oben rechts KachelX + 1 8373 KachelY 25068 -2.33884133 0.67907503 -134.005737 38.908133
    Unten links KachelX 8372 KachelY + 1 25069 -2.33893721 0.67900042 -134.011231 38.903858
    Unten rechts KachelX + 1 8373 KachelY + 1 25069 -2.33884133 0.67900042 -134.005737 38.903858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67907503-0.67900042) × R
    7.4609999999975e-05 × 6371000     		dl = 475.340309999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67907503-0.67900042) × R
    7.4609999999975e-05 × 6371000     		dr = 475.340309999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33893721--2.33884133) × cos(0.67907503) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.778154000717691 × 6371000     		do = 475.336523006011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33893721--2.33884133) × cos(0.67900042) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.778200859117394 × 6371000     		du = 475.36514652882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67907503)-sin(0.67900042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778154000717691-0.778200859117394)×R²
    abs(-2.33884133--2.33893721)×4.68583997030869e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.68583997030869e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.68583997030869e-05×40589641000000     		ar = 225953.41326181m²