Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8372 / 25011
↖ ↑ ↗
← N 39.151363°
W134.011231°		 ← 473.70 m → N 39.151363°
W134.005737°		 →
↑
473.75 m
↓
↑
473.75 m
↓
N 39.147102°
W134.011231°		 ← 473.73 m →
224 423 m²		 N 39.147102°
W134.005737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127754211425781 y=0.381645202636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127754211425781 × 216)
    floor (0.127754211425781 × 65536)
    floor (8372.5)     		tx = 8372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381645202636719 × 216)
    floor (0.381645202636719 × 65536)
    floor (25011.5)     		ty = 25011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8372 / 25011 ti = "16/8372/25011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8372/25011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8372 ÷ 216
    8372 ÷ 65536     		x = 0.12774658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25011 ÷ 216
    25011 ÷ 65536     		y = 0.381637573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12774658203125 × 2 - 1) × π
    -0.7445068359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33893721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381637573242188 × 2 - 1) × π
    0.236724853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.743693060705551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33893721} λ = -2.33893721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.743693060705551))-π/2
    2×atan(2.10369024211054)-π/2
    2×1.12705825608897-π/2
    2.25411651217795-1.57079632675     		φ = 0.68332019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33893721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.011231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68332019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.151363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8372 KachelY 25011 -2.33893721 0.68332019 -134.011231 39.151363
    Oben rechts KachelX + 1 8373 KachelY 25011 -2.33884133 0.68332019 -134.005737 39.151363
    Unten links KachelX 8372 KachelY + 1 25012 -2.33893721 0.68324583 -134.011231 39.147102
    Unten rechts KachelX + 1 8373 KachelY + 1 25012 -2.33884133 0.68324583 -134.005737 39.147102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68332019-0.68324583) × R
    7.435999999994e-05 × 6371000     		dl = 473.747559999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68332019-0.68324583) × R
    7.435999999994e-05 × 6371000     		dr = 473.747559999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33893721--2.33884133) × cos(0.68332019) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.775480724430878 × 6371000     		do = 473.703548229763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33893721--2.33884133) × cos(0.68324583) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.775527671052463 × 6371000     		du = 473.732225643039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68332019)-sin(0.68324583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775480724430878-0.775527671052463)×R²
    abs(-2.33884133--2.33893721)×4.69466215842207e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.69466215842207e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.69466215842207e-05×40589641000000     		ar = 224422.693167481m²