Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83711 / 20739
↖ ↑ ↗
← N 76.677886°
E 49.919128°		 ← 70.38 m → N 76.677886°
E 49.921875°		 →
↑
70.40 m
↓
↑
70.40 m
↓
N 76.677253°
E 49.919128°		 ← 70.38 m →
4 955 m²		 N 76.677253°
E 49.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638668060302734 y=0.158229827880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638668060302734 × 217)
    floor (0.638668060302734 × 131072)
    floor (83711.5)     		tx = 83711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158229827880859 × 217)
    floor (0.158229827880859 × 131072)
    floor (20739.5)     		ty = 20739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83711 / 20739 ti = "17/83711/20739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83711/20739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83711 ÷ 217
    83711 ÷ 131072     		x = 0.638664245605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20739 ÷ 217
    20739 ÷ 131072     		y = 0.158226013183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638664245605469 × 2 - 1) × π
    0.277328491210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.87125315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158226013183594 × 2 - 1) × π
    0.683547973632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.14742929227966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87125315} λ = 0.87125315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14742929227966))-π/2
    2×atan(8.56281757780859)-π/2
    2×1.45453895387637-π/2
    2.90907790775274-1.57079632675     		φ = 1.33828158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87125315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.919128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33828158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.677886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83711 KachelY 20739 0.87125315 1.33828158 49.919128 76.677886
    Oben rechts KachelX + 1 83712 KachelY 20739 0.87130109 1.33828158 49.921875 76.677886
    Unten links KachelX 83711 KachelY + 1 20740 0.87125315 1.33827053 49.919128 76.677253
    Unten rechts KachelX + 1 83712 KachelY + 1 20740 0.87130109 1.33827053 49.921875 76.677253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33828158-1.33827053) × R
    1.10500000001235e-05 × 6371000     		dl = 70.3995500007866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33828158-1.33827053) × R
    1.10500000001235e-05 × 6371000     		dr = 70.3995500007866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87125315-0.87130109) × cos(1.33828158) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230425324541588 × 6371000     		do = 70.3778252628085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87125315-0.87130109) × cos(1.33827053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230436077172143 × 6371000     		du = 70.3811093929529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33828158)-sin(1.33827053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230425324541588-0.230436077172143)×R²
    abs(0.87130109-0.87125315)×1.07526305554162e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07526305554162e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07526305554162e-05×40589641000000     		ar = 4954.68282930552m²