Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83710 / 20734
↖ ↑ ↗
← N 76.681050°
E 49.916382°		 ← 70.36 m → N 76.681050°
E 49.919128°		 →
↑
70.34 m
↓
↑
70.34 m
↓
N 76.680418°
E 49.916382°		 ← 70.36 m →
4 949 m²		 N 76.680418°
E 49.919128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638660430908203 y=0.158191680908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638660430908203 × 217)
    floor (0.638660430908203 × 131072)
    floor (83710.5)     		tx = 83710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158191680908203 × 217)
    floor (0.158191680908203 × 131072)
    floor (20734.5)     		ty = 20734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83710 / 20734 ti = "17/83710/20734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83710/20734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83710 ÷ 217
    83710 ÷ 131072     		x = 0.638656616210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20734 ÷ 217
    20734 ÷ 131072     		y = 0.158187866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638656616210938 × 2 - 1) × π
    0.277313232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87120521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158187866210938 × 2 - 1) × π
    0.683624267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.14766897677776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87120521} λ = 0.87120521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14766897677776))-π/2
    2×atan(8.5648701984229)-π/2
    2×1.45456656534527-π/2
    2.90913313069055-1.57079632675     		φ = 1.33833680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87120521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.916382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33833680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.681050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83710 KachelY 20734 0.87120521 1.33833680 49.916382 76.681050
    Oben rechts KachelX + 1 83711 KachelY 20734 0.87125315 1.33833680 49.919128 76.681050
    Unten links KachelX 83710 KachelY + 1 20735 0.87120521 1.33832576 49.916382 76.680418
    Unten rechts KachelX + 1 83711 KachelY + 1 20735 0.87125315 1.33832576 49.919128 76.680418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33833680-1.33832576) × R
    1.10399999999622e-05 × 6371000     		dl = 70.3358399997591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33833680-1.33832576) × R
    1.10399999999622e-05 × 6371000     		dr = 70.3358399997591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87120521-0.87125315) × cos(1.33833680) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.230371590159887 × 6371000     		do = 70.3614133996771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87120521-0.87125315) × cos(1.33832576) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.230382333200029 × 6371000     		du = 70.3646946006622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33833680)-sin(1.33832576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230371590159887-0.230382333200029)×R²
    abs(0.87125315-0.87120521)×1.07430401413977e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.07430401413977e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.07430401413977e-05×40589641000000     		ar = 4949.04450828604m²