Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83709 / 20899
↖ ↑ ↗
← N 76.576246°
E 49.913635°		 ← 70.89 m → N 76.576246°
E 49.916382°		 →
↑
70.91 m
↓
↑
70.91 m
↓
N 76.575609°
E 49.913635°		 ← 70.89 m →
5 027 m²		 N 76.575609°
E 49.916382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638652801513672 y=0.159450531005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638652801513672 × 217)
    floor (0.638652801513672 × 131072)
    floor (83709.5)     		tx = 83709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159450531005859 × 217)
    floor (0.159450531005859 × 131072)
    floor (20899.5)     		ty = 20899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83709 / 20899 ti = "17/83709/20899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83709/20899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83709 ÷ 217
    83709 ÷ 131072     		x = 0.638648986816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20899 ÷ 217
    20899 ÷ 131072     		y = 0.159446716308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638648986816406 × 2 - 1) × π
    0.277297973632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.87115728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159446716308594 × 2 - 1) × π
    0.681106567382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.13975938834045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87115728} λ = 0.87115728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13975938834045))-π/2
    2×atan(8.49739281110633)-π/2
    2×1.45365197843401-π/2
    2.90730395686802-1.57079632675     		φ = 1.33650763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87115728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.913635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33650763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.576246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83709 KachelY 20899 0.87115728 1.33650763 49.913635 76.576246
    Oben rechts KachelX + 1 83710 KachelY 20899 0.87120521 1.33650763 49.916382 76.576246
    Unten links KachelX 83709 KachelY + 1 20900 0.87115728 1.33649650 49.913635 76.575609
    Unten rechts KachelX + 1 83710 KachelY + 1 20900 0.87120521 1.33649650 49.916382 76.575609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33650763-1.33649650) × R
    1.11300000000814e-05 × 6371000     		dl = 70.9092300005183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33650763-1.33649650) × R
    1.11300000000814e-05 × 6371000     		dr = 70.9092300005183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87115728-0.87120521) × cos(1.33650763) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.232151174099036 × 6371000     		do = 70.8901537896444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87115728-0.87120521) × cos(1.33649650) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.23216200000991 × 6371000     		du = 70.8934596117654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33650763)-sin(1.33649650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232151174099036-0.23216200000991)×R²
    abs(0.87120521-0.87115728)×1.08259108738407e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.08259108738407e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.08259108738407e-05×40589641000000     		ar = 5026.88342649255m²