Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83709 / 20894
↖ ↑ ↗
← N 76.579434°
E 49.913635°		 ← 70.87 m → N 76.579434°
E 49.916382°		 →
↑
70.91 m
↓
↑
70.91 m
↓
N 76.578797°
E 49.913635°		 ← 70.88 m →
5 026 m²		 N 76.578797°
E 49.916382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638652801513672 y=0.159412384033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638652801513672 × 217)
    floor (0.638652801513672 × 131072)
    floor (83709.5)     		tx = 83709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159412384033203 × 217)
    floor (0.159412384033203 × 131072)
    floor (20894.5)     		ty = 20894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83709 / 20894 ti = "17/83709/20894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83709/20894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83709 ÷ 217
    83709 ÷ 131072     		x = 0.638648986816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20894 ÷ 217
    20894 ÷ 131072     		y = 0.159408569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638648986816406 × 2 - 1) × π
    0.277297973632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.87115728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159408569335938 × 2 - 1) × π
    0.681182861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13999907283855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87115728} λ = 0.87115728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13999907283855))-π/2
    2×atan(8.49942974853883)-π/2
    2×1.45367979670996-π/2
    2.90735959341992-1.57079632675     		φ = 1.33656327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87115728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.913635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33656327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.579434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83709 KachelY 20894 0.87115728 1.33656327 49.913635 76.579434
    Oben rechts KachelX + 1 83710 KachelY 20894 0.87120521 1.33656327 49.916382 76.579434
    Unten links KachelX 83709 KachelY + 1 20895 0.87115728 1.33655214 49.913635 76.578797
    Unten rechts KachelX + 1 83710 KachelY + 1 20895 0.87120521 1.33655214 49.916382 76.578797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33656327-1.33655214) × R
    1.11300000000814e-05 × 6371000     		dl = 70.9092300005183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33656327-1.33655214) × R
    1.11300000000814e-05 × 6371000     		dr = 70.9092300005183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87115728-0.87120521) × cos(1.33656327) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.232097053840248 × 6371000     		do = 70.8736275175567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87115728-0.87120521) × cos(1.33655214) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.232107879894874 × 6371000     		du = 70.876933383574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33656327)-sin(1.33655214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232097053840248-0.232107879894874)×R²
    abs(0.87120521-0.87115728)×1.08260546254346e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.08260546254346e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.08260546254346e-05×40589641000000     		ar = 5025.71156296064m²