Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83708 / 19809
↖ ↑ ↗
← N 77.253873°
E 49.910889°		 ← 67.39 m → N 77.253873°
E 49.913635°		 →
↑
67.41 m
↓
↑
67.41 m
↓
N 77.253267°
E 49.910889°		 ← 67.39 m →
4 542 m²		 N 77.253267°
E 49.913635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638645172119141 y=0.151134490966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638645172119141 × 217)
    floor (0.638645172119141 × 131072)
    floor (83708.5)     		tx = 83708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151134490966797 × 217)
    floor (0.151134490966797 × 131072)
    floor (19809.5)     		ty = 19809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83708 / 19809 ti = "17/83708/19809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83708/19809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83708 ÷ 217
    83708 ÷ 131072     		x = 0.638641357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19809 ÷ 217
    19809 ÷ 131072     		y = 0.151130676269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638641357421875 × 2 - 1) × π
    0.27728271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87110934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151130676269531 × 2 - 1) × π
    0.697738647460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.19201060892631
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87110934} λ = 0.87110934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19201060892631))-π/2
    2×atan(8.95319640657101)-π/2
    2×1.45956538295226-π/2
    2.91913076590453-1.57079632675     		φ = 1.34833444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87110934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.910889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34833444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.253873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83708 KachelY 19809 0.87110934 1.34833444 49.910889 77.253873
    Oben rechts KachelX + 1 83709 KachelY 19809 0.87115728 1.34833444 49.913635 77.253873
    Unten links KachelX 83708 KachelY + 1 19810 0.87110934 1.34832386 49.910889 77.253267
    Unten rechts KachelX + 1 83709 KachelY + 1 19810 0.87115728 1.34832386 49.913635 77.253267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34833444-1.34832386) × R
    1.05799999998712e-05 × 6371000     		dl = 67.4051799991797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34833444-1.34832386) × R
    1.05799999998712e-05 × 6371000     		dr = 67.4051799991797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87110934-0.87115728) × cos(1.34833444) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.220631508365457 × 6371000     		do = 67.3865417099477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87110934-0.87115728) × cos(1.34832386) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.220641827632663 × 6371000     		du = 67.3896934797705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34833444)-sin(1.34832386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220631508365457-0.220641827632663)×R²
    abs(0.87115728-0.87110934)×1.03192672065711e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.03192672065711e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.03192672065711e-05×40589641000000     		ar = 4542.30819634111m²