Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83708 / 19807
↖ ↑ ↗
← N 77.255085°
E 49.910889°		 ← 67.38 m → N 77.255085°
E 49.913635°		 →
↑
67.34 m
↓
↑
67.34 m
↓
N 77.254479°
E 49.910889°		 ← 67.38 m →
4 538 m²		 N 77.254479°
E 49.913635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638645172119141 y=0.151119232177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638645172119141 × 217)
    floor (0.638645172119141 × 131072)
    floor (83708.5)     		tx = 83708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151119232177734 × 217)
    floor (0.151119232177734 × 131072)
    floor (19807.5)     		ty = 19807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83708 / 19807 ti = "17/83708/19807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83708/19807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83708 ÷ 217
    83708 ÷ 131072     		x = 0.638641357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19807 ÷ 217
    19807 ÷ 131072     		y = 0.151115417480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638641357421875 × 2 - 1) × π
    0.27728271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87110934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151115417480469 × 2 - 1) × π
    0.697769165039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.19210648272555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87110934} λ = 0.87110934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19210648272555))-π/2
    2×atan(8.9540548246751)-π/2
    2×1.45957595884828-π/2
    2.91915191769657-1.57079632675     		φ = 1.34835559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87110934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.910889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34835559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.255085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83708 KachelY 19807 0.87110934 1.34835559 49.910889 77.255085
    Oben rechts KachelX + 1 83709 KachelY 19807 0.87115728 1.34835559 49.913635 77.255085
    Unten links KachelX 83708 KachelY + 1 19808 0.87110934 1.34834502 49.910889 77.254479
    Unten rechts KachelX + 1 83709 KachelY + 1 19808 0.87115728 1.34834502 49.913635 77.254479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34835559-1.34834502) × R
    1.0569999999932e-05 × 6371000     		dl = 67.3414699995669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34835559-1.34834502) × R
    1.0569999999932e-05 × 6371000     		dr = 67.3414699995669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87110934-0.87115728) × cos(1.34835559) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.220610879510573 × 6371000     		do = 67.3802411266796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87110934-0.87115728) × cos(1.34834502) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.220621189073553 × 6371000     		du = 67.3833899325818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34835559)-sin(1.34834502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220610879510573-0.220621189073553)×R²
    abs(0.87115728-0.87110934)×1.03095629798433e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.03095629798433e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.03095629798433e-05×40589641000000     		ar = 4537.59050925026m²