Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83708 / 19796
↖ ↑ ↗
← N 77.261748°
E 49.910889°		 ← 67.35 m → N 77.261748°
E 49.913635°		 →
↑
67.34 m
↓
↑
67.34 m
↓
N 77.261142°
E 49.910889°		 ← 67.35 m →
4 535 m²		 N 77.261142°
E 49.913635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638645172119141 y=0.151035308837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638645172119141 × 217)
    floor (0.638645172119141 × 131072)
    floor (83708.5)     		tx = 83708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151035308837891 × 217)
    floor (0.151035308837891 × 131072)
    floor (19796.5)     		ty = 19796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83708 / 19796 ti = "17/83708/19796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83708/19796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83708 ÷ 217
    83708 ÷ 131072     		x = 0.638641357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19796 ÷ 217
    19796 ÷ 131072     		y = 0.151031494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638641357421875 × 2 - 1) × π
    0.27728271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87110934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151031494140625 × 2 - 1) × π
    0.69793701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19263378862137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87110934} λ = 0.87110934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19263378862137))-π/2
    2×atan(8.95877759563871)-π/2
    2×1.45963410860174-π/2
    2.91926821720349-1.57079632675     		φ = 1.34847189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87110934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.910889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34847189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.261748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83708 KachelY 19796 0.87110934 1.34847189 49.910889 77.261748
    Oben rechts KachelX + 1 83709 KachelY 19796 0.87115728 1.34847189 49.913635 77.261748
    Unten links KachelX 83708 KachelY + 1 19797 0.87110934 1.34846132 49.910889 77.261142
    Unten rechts KachelX + 1 83709 KachelY + 1 19797 0.87115728 1.34846132 49.913635 77.261142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34847189-1.34846132) × R
    1.0569999999932e-05 × 6371000     		dl = 67.3414699995669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34847189-1.34846132) × R
    1.0569999999932e-05 × 6371000     		dr = 67.3414699995669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87110934-0.87115728) × cos(1.34847189) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.220497443429671 × 6371000     		do = 67.3455948277273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87110934-0.87115728) × cos(1.34846132) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.220507753263783 × 6371000     		du = 67.3487437164401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34847189)-sin(1.34846132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220497443429671-0.220507753263783)×R²
    abs(0.87115728-0.87110934)×1.03098341114327e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.03098341114327e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.03098341114327e-05×40589641000000     		ar = 4535.25737901633m²