Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83707 / 20891
↖ ↑ ↗
← N 76.581346°
E 49.908142°		 ← 70.88 m → N 76.581346°
E 49.910889°		 →
↑
70.85 m
↓
↑
70.85 m
↓
N 76.580709°
E 49.908142°		 ← 70.88 m →
5 022 m²		 N 76.580709°
E 49.910889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638637542724609 y=0.159389495849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638637542724609 × 217)
    floor (0.638637542724609 × 131072)
    floor (83707.5)     		tx = 83707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159389495849609 × 217)
    floor (0.159389495849609 × 131072)
    floor (20891.5)     		ty = 20891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83707 / 20891 ti = "17/83707/20891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83707/20891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83707 ÷ 217
    83707 ÷ 131072     		x = 0.638633728027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20891 ÷ 217
    20891 ÷ 131072     		y = 0.159385681152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638633728027344 × 2 - 1) × π
    0.277267456054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.87106140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159385681152344 × 2 - 1) × π
    0.681228637695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.14014288353741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87106140} λ = 0.87106140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14014288353741))-π/2
    2×atan(8.50065214536565)-π/2
    2×1.45369648456275-π/2
    2.9073929691255-1.57079632675     		φ = 1.33659664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87106140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.908142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33659664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.581346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83707 KachelY 20891 0.87106140 1.33659664 49.908142 76.581346
    Oben rechts KachelX + 1 83708 KachelY 20891 0.87110934 1.33659664 49.910889 76.581346
    Unten links KachelX 83707 KachelY + 1 20892 0.87106140 1.33658552 49.908142 76.580709
    Unten rechts KachelX + 1 83708 KachelY + 1 20892 0.87110934 1.33658552 49.910889 76.580709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33659664-1.33658552) × R
    1.11199999999201e-05 × 6371000     		dl = 70.8455199994908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33659664-1.33658552) × R
    1.11199999999201e-05 × 6371000     		dr = 70.8455199994908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87106140-0.87110934) × cos(1.33659664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232064594957876 × 6371000     		do = 70.8785006427632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87106140-0.87110934) × cos(1.33658552) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.232075411371722 × 6371000     		du = 70.8818042539663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33659664)-sin(1.33658552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232064594957876-0.232075411371722)×R²
    abs(0.87110934-0.87106140)×1.08164138460376e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08164138460376e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08164138460376e-05×40589641000000     		ar = 5021.54125783239m²