Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83707 / 19808
↖ ↑ ↗
← N 77.254479°
E 49.908142°		 ← 67.38 m → N 77.254479°
E 49.910889°		 →
↑
67.41 m
↓
↑
67.41 m
↓
N 77.253873°
E 49.908142°		 ← 67.39 m →
4 542 m²		 N 77.253873°
E 49.910889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638637542724609 y=0.151126861572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638637542724609 × 217)
    floor (0.638637542724609 × 131072)
    floor (83707.5)     		tx = 83707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151126861572266 × 217)
    floor (0.151126861572266 × 131072)
    floor (19808.5)     		ty = 19808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83707 / 19808 ti = "17/83707/19808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83707/19808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83707 ÷ 217
    83707 ÷ 131072     		x = 0.638633728027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19808 ÷ 217
    19808 ÷ 131072     		y = 0.151123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638633728027344 × 2 - 1) × π
    0.277267456054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.87106140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151123046875 × 2 - 1) × π
    0.69775390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19205854582593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87106140} λ = 0.87106140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19205854582593))-π/2
    2×atan(8.95362560533558)-π/2
    2×1.45957067102389-π/2
    2.91914134204779-1.57079632675     		φ = 1.34834502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87106140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.908142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34834502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.254479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83707 KachelY 19808 0.87106140 1.34834502 49.908142 77.254479
    Oben rechts KachelX + 1 83708 KachelY 19808 0.87110934 1.34834502 49.910889 77.254479
    Unten links KachelX 83707 KachelY + 1 19809 0.87106140 1.34833444 49.908142 77.253873
    Unten rechts KachelX + 1 83708 KachelY + 1 19809 0.87110934 1.34833444 49.910889 77.253873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34834502-1.34833444) × R
    1.05800000000933e-05 × 6371000     		dl = 67.4051800005944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34834502-1.34833444) × R
    1.05800000000933e-05 × 6371000     		dr = 67.4051800005944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87106140-0.87110934) × cos(1.34834502) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220621189073553 × 6371000     		do = 67.3833899324257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87106140-0.87110934) × cos(1.34833444) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220631508365457 × 6371000     		du = 67.3865417097917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34834502)-sin(1.34833444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220621189073553-0.220631508365457)×R²
    abs(0.87110934-0.87106140)×1.031929190351e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.031929190351e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.031929190351e-05×40589641000000     		ar = 4542.09575042079m²